48 SUR LA THÉORIE 



Or, il y aura un nombre entier ;' < », tel que m = b' (niod. n), et cela 

 donnera /S'"''' — ,3-'"''' = (i''''*' — /S"'''"*"'. Si l'exposant ;' -f A: surpasse q, on 

 pourra le réduire à l'aide de la congruence b'' -\-l^o (mod. n) , qui 

 fournit 6''-^*^' = — M', t-'+'' = M' (mod. h), d'où l'on voit que la puis- 

 sance 6'"^' changera de signe lorsque i + A" sera compris entre q et 2q, 

 et ne changera pas lorsque / + k sera compris entre 2^ et ôq. Mainte- 

 nant, si i < q, la suite ' + 1, ' + 2. ... i + 7, renfermera les termes 

 i -\- q, i -h 9 — 1 ? . J + 7 — "^^ ••• < + 7 — (' — 1 ) , dont le nombre est 

 i et qui seront compris entre 7 et 27; si i > 7, les termes de la même 

 suite compris entre 7 et 27 seront i -\- l , i + 2 , ... i + (27 — /), dont 

 le nombre est 27 — t. Il s'ensuit qu'en remplaçant t' par mb'' , le produit 

 n(/3(.' — ^-t*) ne change pas de valeur absolue, mais im certain nombre 

 de ses facteurs change de signe, et ce nombre est i lorsque i < q, "Iq— i 

 lorsque i > 7. On aura donc, dans tous les cas, 



n ( /S'"'' — - mv- ) = (—!)■. n ( p''- — 0-y' ) , 



et comme d'ailleurs -I = ( — 1)', on en conclura la formule (71). 

 On peut aussi remarquer, que 



6'+'. 1)'+'-. ti+' .... b'-^i = b"! X b. b\ !/■ ... 6'. b'i = (—1)' (mod. 11], 



et qu'ainsi le nombre des puissances qui changent de signe est pair ou 

 impair comme l'exposant i. 



Faisant x= \ dans l'équation (69), on obtient 



m = {—iy. n (a«'' — a-"*)2, 



et en élevant les deux membres à la puissance 7, et supprimant, à la ma- 

 nière de M. Liouville, les multiples de n, on en tire 



On aura une expression semblable de f-l , et ces deux formules com- 

 parées avec (70), ou bien la deuxième comparée avec (71), donneront la 

 loi de réciprocité. 



