DES RESIDUS QUADRATIQUES. 49 



XIII. 



Si, dans l'équation (65), on fait a = e"' ', /3 ^ e " ~' , en désignant 

 par a un nombre premier à m, et par h un nombre premier à «, il viendra 



ianhTT 



(73). . . . ^ = 2='. (— 1)'. n. sin. — î^ ^sin. — 



sin ^"''^ ~ ' "'" "*" 



7» . 



Or, en général, sin. '2,nx est positif, si x surpasse un nombre entier 

 d'une quantité inférieure ou égale à |, négatif si, au contraire, il y a un 

 nombre entier qui surpasse x d'une quantité inférieure à ^. Au moyen 

 de cette remarque, on déduira de la formule (73) le théorème d'arith- 

 métique suivant : 



Soient m, n, a, b des nombres entiers positifs; m et n impairs et pre- 

 miers entre eux, a premier à m, b premier à n; soit h un nombre déter- 

 miné quelconque, et k un nombre indéterminé, qui prenne successive- 

 ment les valeurs 1, 2, 5, ...^^- Divisez par mn toutes les valeurs que 

 prendront les quantités anh + bmk, anh — bmk, en déterminant les quo- 

 tients de manière que chaque reste soit numériquement inférieur à | mn, et 

 soit 1 le nombre total des restes 7icgatifs. Divisez aussi ali et anh par m, en 

 prenant les restes numériquement inférieurs à ^ m; enlin soit (j = '-^• 

 Cela posé, le nombre V + ^ sera pair, si les restes de ah et anh sont de 

 même signe, impair s'ils sont de signes contraires. 



Ce théorème pouvant conduire à la loi de réciprocité, nous allons en 

 chercher une démonstration directe, en supposant, pour plus de simplicité, 

 a = \ , b = l et /( l'un des tei'mes de la suite 1, 2. 5, ... /), p étant = -^ — 



Faisons 



mn — 1 



r = , u = nk — mk , v = un ■+■ mk — )• ; 



2 



n et V, abstraction faite du signe, seront < \ mn. Ayant divisé nh par m, 

 soit i le quotient, h' le reste positif : nous aurons nh=^mi-\- h', /( < ^ , 

 et par suite mi < /;/( < n'^ , d'où i < ^'; donc mk sera plus petit que nk 

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