50 SUR LA THEORIE 



pour toutes les valeurs A = 1, 2, 5, ... i, mais pour ces seules valeurs, 

 de sorte que /( aura i valeurs positives. J'observe que les nombres /»' et n ne 

 peuvent être nuls, car nli, étant inférieur à j mn, ne peut être multiple en 

 même temps de m et de n. Mais nous aurons aussi nli + mk =-m{i-\-k)-{'h', 

 r=m7+p, et, par conséquent, nli + mk > r pour toutes les valeurs 

 k=^q — i-t-l, 9— J-i-2, (/ — i-t-3, ... q — I, q, 



et aussi pour l'autre valeur k = q — i, dans le cas de //' > /; ; en effet q — ( 

 ne pourra pas être nul dans ce cas, puisque si q = i , il s'ensuivrait 

 mi + h' > mq + p, ou nh > )■, tandis que /■ est égal à np + (/, et que h 

 ne surpasse pas p. Ainsi le nombre v aura i valeurs positives si A' < ^, 

 et en aura i + 1 , si h' > ™- Donc le nombre des valeurs positives de v 

 égale celui des valeurs positives de u, lorsque le reste /(' est inférieur à 

 4 m, et le surpasse d'une unité dans le cas contraire : de là résulte le 

 théorème ci-dessus énoncé. 



Maintenant soit f le nombre total des valeurs positives de m, et y le 

 nombre total des valeurs positives de î^, en supposant qu'on attribue suc- 

 cessivement à II toutes les valeurs 1, 2, 5, ... /), à k toutes les valeurs 

 1, 2, 3, ... q; soit h, le nombre des restes supérieurs a ^ m provenant de 

 la division des multiples nli par m : on aura évidemment g — /'= u,. 



Par les mêmes raisons, si /' désigne le nombre total des valeurs posi- 

 tives de la quantité u' = mk — nh, et m, le nombre des restes supérieurs 

 à j n provenant de la division des multiples mk par «, on aura g — /' =))i|. 

 11 en résulte 2g — f—f' = m, + n, , et par suite (— l/"*''' = (_l)"-+-\ 

 Mais les valeurs positives de u' sont les négatives de u, car tt' = — u, et 

 par conséquent, f -\- f est le nombre total des valeurs de u, c'est-à-dire 



,)7:donc(— ir-^"' = (— ir. 



Enfin, si m et n sont deux nombres premiers, on aura, d'après un 

 lemme de M. Gauss, 



d'où l'on conclut la loi de réciprocité 



'-) (-)=(-ir 



n / V m I 



