DES RESIDUS QUADRATIQUES. 31 



J'ignore si cette démonstration élémentaire et très-simple, et sa liaison 

 avec celle de M. Liouville, aient déjà été signalées. 



Le lemme de M. Gauss, que je viens de rappeler, peut être généralisé 

 ainsi qu'il suit. 



Soient »i et « deux entiers premiers entre eux ; 1 le nombre des entiers 

 inférieurs à | n et premiers à ii : représentons ces entiers par /;, /^ ... b^, 

 et divisons par ?( les multiples b,)n , b.^ni, ... b^m , de manière à avoir des 

 restes positifs ou négatifs, mais numériquement inférieurs à ~ n. Si m, 

 désigne le nombre des restes négatifs, m'^ — ( — 1)"" sera divisible par ii. 



Nommons, en effet, lt^ , Ilt, ... hx les quotients, et A', , A^, ... A;^ les restes 

 de ces divisions : on aura 



6, m = /(,!! -I- A, , bjn = h,n -i- k., ... b^m =: lifii -t- k-,, 



ce qui montre que les restes A,, A.,, ... A^ seront tous premiers à n, car 

 A,, par exemple, ne pourrait avoir de commun avec n un facteur pre- 

 mier, qui ne divisât aussi b, ou m, en vertu de l'équation bfn^ li{ii-\- kj. 

 Mais, de plus, ces restes seront tous numériquement inégaux, car si l'on 

 eût A,- = ± A,,, les équations bim = li-ii -{- A, , 6,,»» = li^m + A,,, donneraient 

 [hi rp b,,) m = (A, =p li^,) n, et n, étant premier à m, devrait être diviseur du 

 nombre t, =f b-,, tandis que b^ et t,, sont < jH, et par suite t, qp b^, est 

 numériquement inférieur à n. Donc la suite A,, Ao, ... A^ sera composée 

 des mêmes termes, abstraction faite de leurs signes et de leur ordre, 

 que l'autre suite t, , b.,, ... b^, et l'on en déduira A, A., ... A^ = ( — 1)"". 

 bf b^ ... by Or, en multipliant, membres à membres, les l équations 

 précédentes, et supprimant les multiples de n, on obtiendra 



6,6, ... b)^. m^ =E k^k, ... ky (raod. )i) : donc 6,6. ... 6;. | m^ — ( — !)'"■] =e o (mod. ") , 



c'est-à-dire que u sera diviseur de 7n' — ( — 1)"", puisque le facteur b,, 

 6j, ... b^ est premier à tt. 



Lorsque » est premier, la suite /», , b.^, ... b^ est celle des nombres na- 

 turels 1, 2, 5, ... ^^, on a > = — ;^; donc alors, tu ' — ( — 1)"" est di- 



visible par n, d'où (-1 =( — 1 



