î)2 SUR LA THEORIE 



Dans tous les cas, m"* — 1 sera divisible par n, car il est le produit 

 des deux nombres jh^ -[- 1, ?«'' — 1 : théorème d'Euler. 



On peut remplacer le Icmnie de M. Gauss par d'autres propositions 

 analogues. Au lieu de multiplier m par les entiers inférieurs à jii, on peut 

 le multiplier par les entiers pairs inférieurs à n, ou par les entiers impaii's 

 inférieurs également à n, et diviser les produits par n, en prenant les 

 restes positifs : dans le premier cas, le nombre des restes impairs, et celui 

 des restes pairs dans le second, détermineront la valeur de (-] 



On peut aussi choisir pour multiplicateurs les puissances 



d'une racine primitive çj de n : la valeur de 'h sera déterminée par le 

 nombre des produits congrus aux autres puissances 



^-H, "_=!+. ^+ = 



g '■ ^ g - , g ' , ■■■ g ■ 



XIV. 



Je terminerai en déduisant de la formule (4) une transformation re- 

 marquable, qui se présente dans la théorie des fonctions elliptiques et 

 ultra-elliptiques. 



Prenons h= go , et (f[x) = e~'"'' cos. 'ianx, k désignant une quantité 

 réelle positive, ou une quantité imaginaire dont la partie réelle soit po- 

 sitive : la formule (i) deviendra 



GO 00 



i -4- 2 _ e . COS. 2aTX=/f ' rfz cos. 2a3-5 -i- 2 2 , _ Je dz cos. Zuti-z cos. ^ix-z. 



o 



A présent il suffirait de substituer dans le second membre les valeurs 

 connues des intégrales définies qu'il renferme: mais ces valeurs peuvent 

 être déterminées au moyen de la même équation. Soit 



e ''' dx = p : faisant x^ = kz"-, on en tire / e '^^ ^ TTî- 



" o 



et diiTérentiant plusieurs fois de suite par rapport à k, on obtient pour 



