14 RECHERCHES 



Mainlenant, dans le système transformé, la médiane m — 1 polaire est 



rfS\ 

 dzl' 



OÙ { — ) est la transformée de — due au changement d'axes. Et l'on est 

 en droit de poser —^ = f —j, puisque, la direction des a; n'ayantpas changé, 

 la médiane de la transformée est la transformée de la médiane pour cette 

 direction. Repassant donc aux anciens axes, (—! redevient —-; x, y et i 

 redeviennent x — x', y — tj' et z — z'; de plus, l'on a pour équation de la mé- 

 diane polaire m — 1 de S relativement à un pôle aux coordonnées x', y,' z' : 



dS '/S r/S , 



= — (x—x') -t- -— (j/— y') -H — [z — z ) = u. 

 dx dij itz 



On trouverait, par le même raisonnement, l'équation de la médiane 

 polaire m — 2 de S au pôle x' , y', z' : 



('-S d^S , „ rf^S 



-4- 2— —(a;-x')(!/-2/') + 2 -— [y-y] [z - z' ) + i -— {z-z') [x-x'), 

 dxdy dijdz dzdx 



et ainsi de suite. 



Mais, dans ce cas, les diverses surfaces ne sont pas, comme dans le cas 

 précédent , médianes successives les unes des autres. 



Nous avons maintenant les équations de toutes les médianes parallèles 

 ou polaires, et leur inspection nous porte à conclure, comme, du reste, 

 on devait le voir à priori, que les premières ne sont qu'un cas particu- 

 lier des secondes. 



15. D'après le n" 8, quand S a un point à l'infini sur une direction, 

 il en est de même de toutes ses médianes polaires. Nous rechercherons 

 ici les caractères des points situés à l'infini. 



Pour qu'une surface ait des points à l'infini sur la direction des 2, il 

 faut et il suffit que z'" manque dans l'équation de degré ni de cette surface; 



