SUR LES MEDIANES. 18 



et, en général, il y aura autant de points à l'infini sur cette direction, qu'il 

 manque d'unités jusqu'à m dans le plus haut exposant de :. 



Étant donnée la surface S rapportée à trois axes quelconques, on de- 

 mande sur quelle direction elle a des points à l'infini. Il suffira de changer 

 la direction des z par la deuxième transformation, et d'exprimer alors que 

 le coefficient de s'" est nul. Mais les termes en :'" de la transformée ne pro- 

 viennent que des termes de degré m de S, que l'on a différentiés par rap- 

 port à X et à tj, de façon à en faire disparaître ces deux variables. Dès lors, 

 on voit aisément que le coefficient de z"', dans la transformée, est justement 

 le degré m de S où x, y et z sont remplacés par c, c' et c". Cette équation étant 

 homogène en c, c' et c", donne une relation entre les rapports — et ^• 

 Par conséquent, si, par l'origine, on mène des parallèles à toutes les trans- 

 versales dont les directions satisfont à celte relation , ces droites détermine- 

 ront une surface. Pour en avoir l'équation, reprenons les éléments de la 

 transformation dun''4, a;'=a; + c;, y' = y-{-c'z et z' = c"z; comme, dans 

 chaque transformation, on ne considère que les points situés sur le nouvel 

 axe des 3, on a : x=o et y = o, d'où x' =^cz, y'= c'z et z' = c"z. Ainsi les 

 trois coordonnées dans le système primitif sont proportionnelles à c, c' ctc", 

 et peuvent y être substituées dans la relation homogène ci-dessus, qui alors 

 se réduit simplement au degré m de S. On en conclut que les direclions 

 suivant lesquelles S = o a des points à l'infini, sont données par les génératrices d'un 

 cône qui est la médiane polaire d^indice zéro. 



Quand la courbe a deux points à l'infini sur la direction des z, l'équa- 

 tion ne doit contenir 3 qu'au degré m — 2 toutauplus. Ainsi les coefficients 

 des quatre termes 2'", xz'"~\ F'""'» 2'"' doivent être nuls. En représentant 

 par /„, , <„,_, l'ensemble des termes de degré m ou m — 1 de S, par -^ la 

 dérivée pour x des termes de degré m, et ainsi de suite, on trouve ici 

 quatre conditions : 



*,„ <"„. 



dx dy 



que l'on peut à volonté remplacer par 



_ '",., <"„, '/',„ 



dx ' dy ' dz 



