16 RECHERCHES 



Quand il y a trois points à l'infini sur la direction de l'axe c, c' , c" , 

 on a les conditions : 



d'„, fl',., '"...-1 



dx ' dy dx 



dU-i (l-L il-L _ f'-'». _ 



dy ' dx^ ' dy'^ ' dxdy 



Si l'on veut de la symétrie , il est clair que ce système d'équations se 

 réduit au suivant : 



(/(,„_, _ (/<„,_, rf',„-i _ 



dx dy dz 



d'^l,„ d''t,„ d-^t„, d%„ _ d.'^l,,, _ (/■•'/„, _ 



dx- ' dy'^ dz- ' dxdy dxdi ' dijdz 



Mais, sans aller plus loin, on peut voir que les points à l'infini dépen- 

 dant des degrés complets de l'équation S , sont une conséquence des pro- 

 priétés des médianes polaires. 



16. Nous avons vu que, dans l'équation des médianes polaires, entrent 

 trois espèces de quantités , d'abord les variables de la médiane, puis les 

 coordonnées du pôle et enfin des constantes; mais cette équation peut 

 être envisagée sous un second aspect en regardant comme variables les 

 coordonnées du pôle. L'équation donne alors le lieu des pôles de toutes 

 les médianes qui passent par un point. Ce lieu est toujours un cône dont le 

 centre est au point donné. S'il s'agit de la médiane m — 1 polaire, le cône 

 est un simple plan; mais il est de second, troisième, m — «"" ordre, si la 

 médiane est d'ordre m — 2, m — 3, .... n. 



Ce résultat peut encore se présenter sous une forme difl"érente. Con- 

 naissant la surface S et ayant un point fixe, on demande le lieu des 

 transversales que l'on peut mener par ce point fixe, et qui jouissent de 

 la propriété d'avoir, en ce point, un médian 1", 2""% n'''"^ Or, les équa- 

 tions répondent que, si le point doit être un médian 1", 2™% if"'% m — 1™% 

 le lieu des traversales est un cône d'ordre m — 1 , un cône d'ordre m — 2, 

 un cône d'ordre m — n, enfin un cône de 1"' ordre ou un plan. 



Par exemple, dans une surface de troisième ordre, tout point de l'es- 



