SUR LES MÉDIANES. 19 



On voit que toutes les polaires réduites m — 1, qui passent par un point, 

 ont leurs pôles dans un plan. Et si le pôle décrit le plan z' = o, les points 

 communs aux réduites m—1 sont '^ = o,~=o, T=o; si le pôle décrit 

 une droite x'==o, y'=o, les réduites m — 1 ont une courbe commune 

 ^=0. T = o. 



Dans le cas du second degré, l'équation de la polaire réduite, consi- 

 dérée sous ces deux points de vue, donne également un plan, et l'on sait 

 qu'alors les polaires sont réciproques. 



20. Avant de passer à quelques applications, il nous reste à parler des 

 propriétés numériques qui lient les segments interceptés sur une trans- 

 versale, à partir de son pôle, par la surface S et ses diverses médianes. 



Prenons cette transversale pour axe des x , et mettons l'origine au pôle; 

 les points où S rencontre la transversale, sont donnés par les termes en 

 a de S ; 



o = Ax'" -+- Bx"-' -t- Cx"-- + Dx"'-' -f- Ex'"-' .... -i- Gx + H. 



Les points où la transversale est coupée par les médianes 1,2,5, etc., 

 sont alors : 



III 



— Ax -)- B, 



m{m — \) m—1 



-— Ax^ -+- • Bx -1- C, 



i.2 1 



m(m— i)(m — 2) . („,_ | ) („,,_2) „j._3 



iT:i Ax^ H- ^^ Bx^ ^ ___ Cx + D, 



et par les polaires réduites m — 1 , m — 2 , etc. : 



B.t"-' -f- iCx"-- -+- 3Dx'"-= ■+- .4Ex"-' 



1 . '2 Cx"-' H- 2. 3 Dx'"-" -t- 5. 4 Ex"-' 



1.2. 5 Dx"-'' H- 2.. 3. 4 Ex"-* 



Il est facile d'en déduire, sous forme de théorèmes, diverses relations. 

 IJornons-nous aux deux suivantes : 



Le produit des ?» segments interceptés par S, vaut le produit des m — i 

 segmen(s de la polaire réduite la — 1 par la distance du 1" médian 



