SUR LES aiEDIANES. 23 



Alors, à cause du centre, toutes les médianes impaires de trois axes passent 

 par l'origine; de même, à cause de la diamétrale, toutes les médianes paires 

 suivant 2 passent par l'origine. Il en résulte que chaque terme de l'équa- 

 tion contiendra .r ou ?/ (voir n° 5). L'axe des z est donc alors sur la surface. 



On en conclut que, si une surface d'ordre impair a un centre, toutes les 

 droites tirées de ce centre parallèlement aux transversales qui admettent une sur- 

 face diamétrale, appartiennent à la surface d'ordre impair. 



Par le même raisonnement, on trouve qu'une courbe plane d'ordre im- 

 pair ne peut Jamais avoir à la fois un centre et une courbe diamétrale. 



Il est aisé de voir encore que le centre d'une surface est situé non-seu- 

 lement sur toutes les surfaces ou courbes diamétrales de même genre que le 

 centre, mais encore sur toutes les surfaces ou courbes diamétrales de 

 genre différent. 



25. Comme application de ce qui précède, nous chercherons les centres 

 de la surface de troisième ordre. 



Les centres de transversales de premier genre sont donnés par les 

 médianes première et troisième; ceux de second genre par les médianes 

 d'indices deux et zéro. 



Les surfaces diamétrales appartiennent au second genre; on reconnaît 

 que les directions des transversales sont données par le cône asymptote 

 ou la médiane zéro, et les surfaces sont du second ordre. II y a d'ailleurs 

 une surface pour chacune de ces directions. 



Les lieux des centres de premier genre sont des sections planes de la 

 surface, quelle que soit la direction des transversales. Le plan est le lieu 

 des centres des moyennes distances pour la direction. Dans le cas où la 

 direction des transversales est parallèle au cône asymptote, le plan lui- 

 même est parallèle à cette direction , mais la section de S par ce plan 

 répond toujours à la question. 



On voit donc par là que, sur une même direction, il peut y avoir des 

 centres de deux genres; un exemple le fera voir mieux encore: soit la surface 

 xz- -\- y'' — ayz — 1)^ = et les deux médianes suivant z, 2xz- — ay^o, 

 .x = o. Cette surface a une diamétrale pour la direction des z, 2xz = ay; 

 tandis que, pour les centres de premier genre, on obtient la courbe plane 



