24 RECHERCHES 



X = 0, ]f — aip — li^ = o; et effectivement, suivant ce plan x ^o, toutes 

 les parallèles aux ; ont deux points situes à l'infini. 



Quant aux médianes polaires, il n'y a généralement que des courbes; 

 dans des cas particuliers seulement, on peut avoir des surfaces. Les cen- 

 tres de premier genre sont à l'intersection de la proposée du troisième 

 ordre par une surface du deuxième. Les centres de deuxième genre sont à 

 l'intersection d'un cône, parallèle au cône asymptote et dont le centre est 

 au pôle, par une surface de deuxième ordre passant par ce pôle. 



26. On peut se poser le problème inverse et se demander : étant donnés 

 une surfilée de troisième ordre et un point , trouver le lieu des pôles ou 

 les directions de transversales qui admettent une courbe ou une surface 

 diamétrale passant par ce point. 



Le premier genre suppose le point donné sur la surface; alors les pôles 

 ou les directions des transversales forment un côue de second ordre. Ainsi 

 par chaque point d'une surface troisième, on peut mener une suite de 

 droites formant un cône de second ordre et telles que la corde inscrite dans 

 la surface soit divisée en ce point en deux parties égales. 



Quant au second genre, les pôles et les directions appartiennent à un 

 cône mené par le point donné et parallèle au cône asymptote; ils sont, 

 d'ailleurs, aussi dans un plan. Ainsi le lieu de ces pôles se réduit à trois 

 droites situées dans un plan. 



Nous prendrons un exemple particulier fort simple : 



x-y — c' H- (IX'- — by- -4- c^z = u. 



On demande le lieu des transversales qui ont un centre à l'origine. En 

 regardant, dans les équations des médianes polaires, les coordonnées 

 du pôle comme variables et égalant à zéro les trois coordonnées x, y, z , 

 on a les trois surfaces : 



ax'- = by"^ 

 x%j' = z'\ 



Pour le premier genre, le lieu cherché se résout en deux plans pas- 

 sant par l'axe des ::. Toute transversale par l'origine située dans l'un de ces 



