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à ce cas-ci qu'appartiennent la théorie des tangentes et celle des points 

 multiples. 



Une transversale est dite avoir un point multiple avec la surface S = o, 

 quand plusieurs de ses intersections avec cette surface sont confondues en 

 un point. 



Quand n des m rencontres sont confondues , il résulte de la définition des mé- 

 dians que ce point doit cire à la fois médian m ■ — 1 , m — 2 m — n -]- 1 



de la transversale, puisque, par rapport à ce point, il n'y a que m—n dis- 

 tances qui ne sont pas nulles; et, réciproquement, si une rencontre de la 



transversale avec S est à la fois médian ;/; — ^ 1 , m — 2 m — n -\- i 



de la transversale, elle sera un point multiple d'ordre n de cette droite. 



Ainsi un point multiple n""" sur une transversale doit être situé sur 

 toutes les médianes m — 1 , m — 2 .... m — h -j- 1 pour des systèmes 

 de transversales dont celle-ci fait partie. On en déduit en particulier : 



Les points de S = o doubles pour des transversales parallèles aux z sont à 



f intersection des surfaces S^o, —- = o. 

 ' dz 



Les points de S=o doubles pour des transversales passant par le point x', y', z' 

 sont à l'intersection des surfaces 



rfS f/S rfS 



S = o, — (œ — x') H- — (j/ — j/') -*- — (s— « ) = 0. 

 ax dy dz 



Dans chacun de ces deux cas, le lieu de ces points appartient donc à 

 une surface inférieure d'un ordre à S. 



La médiane m — 1 parallèle, pour tout axe parallèle aux x y, n pour 

 équation c — + C — = o, et cette surface passe évidemment par les 

 points communs aux médianes m — 1 suivant les x et les y. Ainsi : 



Quand un point de S est double pour deux transversales en ce point , il l'est aussi 

 pour toute transversale en ce point située dans le plan des deux premières. Ce plan 

 est dit alors avoir un point double avec la surface S = o. 



Quand un point de S est double pour trois tr-ansvci'sales en ce point non situées 

 dans un plan , il est double aussi pour toiite transversale en ce point ; et celui-ci 

 est dit point double de la surface. 



