SUR LES MEDIANES. 27 



Observations. — La première propriété démontre analytiquement que 

 toutes les tangentes en un point d'une surface algébrique constituent un 

 plan; la deuxième prouve que si trois tangentes en un point de la surface 

 ne sont pas dans un plan, toute droite passant par ce point est une tan- 

 gente; et la surface a un point double. 



L'intersection de S avec les deux médianes m — 1, dont on a les équa- 

 tions ci-dessus , sont évidemment les courbes de contact du cylindre ou 

 du cône tangent menés suivant la direction ou par le point. 



50. A propos de tangentes, il est une propriété assez curieuse qu'il 

 peut être utile de noter ici. 



Supposons deux surfaces d'ordre m, qui coupent un plan suivant une 

 même courbe, et qui, de plus, aient les mêmes plans tangents suivant cette 

 courbe; alors toute transversale interceptera, à partir du plan, m segments 

 sur chacune des surfaces; la propriété consiste en ee que la somme des m 

 segments inverses de Cune égale la somme des m segments inverses de l'autre. 



Sans développer la démonstration, qui est fort simple, il suffit de re- 

 marquer que si le plan est pris pour a; y et la transversale pour z, il faut, 

 d'après les conditions, que, dans les deux équations, les termes qui ne 

 contiennent pas ;^ soient les mêmes. La conséquence alors est immédiate. 



Pour en prendre l'exemple le plus simple, soient un cercle et deux 

 de ses tangentes; soient joints les deux points de contact. Une trans- 

 versale quelconque coupera la droite de jonction en O, le cercle en C C, 

 les tangentes en T T'; et en faisant attention aux signes des segments , 

 on aura : 



i 1 _ 1 ' 



ûc "*" OC "~ oT "^ ûr' 



51. On a vu que tout point de S a un plan double unique, et que, 



, , . , , r/S </S c/S , , 



pour les seuls points pour lesquels y^o,— =o, -— = o, tous les plans 



qui passent par ces points y sont doubles ('). 



Passons aux transversales triples. Le point triple de la transversale 



{') On .ippcllc, pour iihii'trci, tlroilc double, plan double, la dioite ou le plan ipii a un point 

 double avec S. 



