28 RECHERCHES 



c, c' , c" doit satisfaire aux trois relations . 



dS (/S „ dS 



S = o, c H-C' -t-C = , 



(Ij: dy dz 



d'-S „ d'^S , rf-^S (/^S rf^S ■ rf^S 



c- — — H- c2 -— • -4- C ^ -— - -t- 2ec -r— ~ -4- 2fc" -(- 2c'c" = 0. 



ax- dij- dz'^ djcdy dxuz dtjdz 



Quel que soit le point de S que l'on étudie, il a un plan double, et les x ij 

 seront choisis parallèles à ce plan. 



Supposons d'abord que toutes les transversales doubles soient dans un 



plan; comme c'est parmi celles-là qu'il faut chercher celles qui sont 



rfS rfS 



. , ,, as as ., 



triples, on aura c'=o, — - =o, — - =o, et il reste 



' dx du 



d'-S rf-^S , d-^S 



S = c' — ■ -*- c"-' h 'icc' = 



dx'^ di/^ dxdy 



ou n" 5 



ée ■+■ c'-s' -t- 2cc'7'" = 0. 



Ainsi, parmi ces transversales doubles, on en aura deux triples, une seule 

 ou aucune, suivant que 



y"2 — ce y 0, =0, < 0. 



L'expression j-"- — êê' étant continue, il s'ensuit que, pour passer d'un 

 point de S doué de deux transversales triples à un point qui n'en a pas, 

 OH doit rencontrer un point qui n'en a qu'une et qui sert de transition. 

 Ces points sont donc utiles à déterminer. A cet effet, le plan double en x, ij, z 

 étant a {x — x') + a' {ij — y') -\- a"(z — :') = o, et les deux directions ou axes 

 parallèles c, c' , c" et c, , c/, c/', on a les deux conditions : 



ex ■+■ c'a.' ■+■ c"a" = 0, c,a + c/x + C^'a." = 0, 



et la relation y"- — ëS' = o, étant appliquée à ces deux directions géné- 

 rales, devient : 



o:=lcc,e-^ c'c,'S' -+- c"c,"S" -t- (ce,' -H c'cjy" ■+- [c'c," ■+- c"c,') r -+- (c"c, ■+■ CC,"]r'f' 

 — [c'» ■+■ c"e' -+- c"'e" -4- 2cc'r" ■+- 'ic'e"r -+- 2c"cr'] [cîf H- c,"ff' ■+■ c,"'e" ■+- '2c,c,' y" 



-H 2c,'c,"y -I- 2c, "c, 7-']. 



Développant cette équation, eu groupant ensemble les termes S-, êê'.etc, 



