SUR LES MEDIANES. 29 



on trouve que les coefficients ne renferment que trois espèce de facteurs 

 c'c^' — c"c^ , c"Ci — cci" , ce,' — c'c, proportionnels à a, a , a", d'après 

 les deux premières conditions. Éliminant, il reste : 



o = a'(,-' — f'f") -t- o!.''{y" — s"q -4- j."'{r"' — ce') 



■+■ ixx {e"r" — yy') ■+■ 2x'j:" [Sy — y'y") -+- 2y'j£ (C'y' — y"y). 



Cette équation détermine sur S la courbe dont les points ont une trans- 

 versale triple. D'un côté de cette courbe, les points de S ont deux trans- 

 versales triples , de l'autre , ils n'en ont pas. 



Comme exemple simple, on peut prendre la surface 



z = [ax'^ -h b.t -h c) y -h ilx^ ■+- ex- + fx -t- (j. 



On a alors : g' = o, g" = o, y' = o , j/= o, et la relation est 

 a"- y"^=o, qui se décompose en deux autres a'^o et y"=o. La première 

 est impossible , excepté quand z disparaît de l'équation , et dans ce cas , en 

 effet, on a un cylindre; la seconde donne le plan ^ax ~\- b = o. La. courbe 

 est donc plane, et même c'est une simple droite; en tout autre point de 

 la surface, il y a deux transversales triples. 



Si, dans un plan double, on suppose trois transversales triples, cela en- 

 traîne e=o, ë' = 0, •/" = 0, et alors toute transversale en ce point dans le 

 plan est triple; le plan lui-même est dit avoir un point triple avec S. 



Nous avons supposé les transversales doubles de la surface contenues 

 dans un plan. Si toutes les transversales en un point de S sont doubles, 

 on a a=o, a! ^= , a" = , et il reste 



S = o, c'? -4- c"t" -t- c"'f" -+- 2cc'r" -I- 2c'c"r -t- ^c"cy' = o. 



Ces directions sont celles d'un cône de second ordre. Si, en dehors de ce 

 cône, il y a d'autres transversales triples en ce point, on a 6=o, ê' =o, 

 e" = 0, y" = 0, etc. , et toute transversale en ce point est triple. 



52. On peut aisément pousser plus loin ce qui a été dit sur les points 

 multiples et faire des applications. Nous n'indiquerons ici qu'une question 

 particulière. Quand un point de S est double , on a vu que les transver- 



