SUR LES MEDIANES. 31 



54f. Examinons si , parmi ces surfaces , il peut y avoir des cônes. S'il en 

 est un , soient x', y' et z' les coordonnées de son sommet. Portons l'origine 

 en ce point , et prenons la transformée de la surface. Le degré deuxième 

 seul doit rester, et on a les quatre équations en B", x', y', z' : 



/f/S\ 

 = — = 2Aa;' -t- B';' -t- B'y -t- C 



dS\ 



— = 2Ay H- B"x' + B;' -i- C 



idS\ 

 o = — = 2A"z' -t- ]^y' ■+- BV h- C" 



= (S) = kx" -+- Ay + A";"-t- 'Ry'z' 



H- B'z'x' ■+- li"x'y' ■+- Cx' ■+■ C'y" -+- C"z' -+- D. 



Cette dernière, combinée avec les précédentes , devient : 



= Cx' -^- C'y' ■+■ C"z' -t- 2D. 



Éliminons B" entre les deux premières ; on trouve alors que les coor- 

 données du sommet, x' , tf, z', sont détei'minées par les trois équations : 



= 2Ai;"- — 2A'»/'2 -*- Wx':' — hy'z' + Cx' — C'y' 

 = 2A"i' -t- ïiy' -h h'x' ■+■ C" 

 = cy + C'y' + C"^' -+- 2D, 



et, à moins d'indétermination, il ne peut y avoir que deux cônes. 

 On sait que la polaire réduite pour le pôle x' , y', z' est 



r c C" on . '^S ' "^S , (/S 



o = t.x-i-(jj/-i-Ci-i-2U-4-a; — -1-2/ — -*- ^ — ■ 



dx dy dz 



Identifions successivement cette réduite avec les deux plans des xz et 

 yz. On a, dans le premier cas, y = o pour équation; donc la précédente 

 doit se vérifier, indépendamment de a; et de 2, et l'on obtient : 



o = 2Aa;' + B';' h- h" y' + C 



o = 2A"--' -*- B)/' -t- BV H- C" 

 o = Cx' -4- C'y' ■+■ C"z' -h 2D. 



