1820.] Theorems for Jiiiding the Sums of Sines. 337 



Per trig. sin. a = sin. a 



sin. (a + h) = sin. a cos. b + sin. b cos. a 

 sin. (a + 2 b) = sin. a cos. 2 /> + sin. 2 b cos. a 

 sin. (a -}- 3 Z*) = sin. « cos. 3 b + sin. 3 b cos. a 



sin. (rt -f w, />) = sin.fl cos. n b + sin. ?/ 6 cos. a 

 Then by problems the first and second, we have the sura of 

 the series = 



tin. n y. sio. i J + sin. A nS x sin. a x cos. A + sin. i >i A x cos.n x sin. 6 



sin. ^ b 

 sill, n X sill. 2 J + sin. (rr' + i J + 5 n J) x sin. 5 n J 



sin. ^- 6 2 



sin. (a + ^ n 1A x sin. J (n + J1 J y 

 sin. ^ 6 ■ ^ ^^ 



For sin. a x sin. ± b ^s- \ cos. (« — i. i) — i cos. (a + ~ b) 

 And sin. (a + 4- ^ + 4- « i) sin. J. « ^ = a. cos. (a + i n 6) 



— 4- COS. (a + ^ Z( + rt />) 

 Therefore, sin. a x sin. 4- i + sin. (a + v ^ + i « i)sin. \nb 



= .1- COS. (a — ± ^) — J- cos, (a + i i + // ^) 

 But sin. (fl + ^ 7i i) sin. (a. 6 + J- w i) = ^ cos. {a — ^ b) — 



4- cos. {a + ^^ b + n b) 

 Hence the equation marked Cl.) is evident. 

 Corollary. — Sin. a + sin. (« + b) + sin. (« + 2 i) + sin. 



(« + 3 i)Scc. ad infinitum = --^— . 



For in this case ii b is infinitely great ; therefore a + -^b + 

 V b is infinitely great ; and since the cosine of an infinitely 

 great arc maij be zero, therefore the sum of the series = 



i ros. (n — i A) cos, (n — ^ A) 



sin. 5 /» 2 sin. ^ 6 



Vrob. 4. — To find the sum of cos. a + cos. (« + Z*) + cos. 

 (tf + 2 />) + .... cos. (a + w /;). 



Per trig. cos. a = cos. a 



COS. (a + b) = COS. a .cos. /> — sin. a . sin. b 

 COS. (fl + 2 /») = cos. a . COS. 2b — sin. « . sin. 2 6 

 COS (a -r 3 Z/) = COS. a . cos. 3b — sin. « . sin. 3 b 



COS. (a + 7; i) = COS. a . cos. 7/ b — sin. a . sin. « Z* 

 Then by problems the first and second, the sum of the series = 



COS. a X sin. J J + sin. i n ft x cos. — | — ft x cos. a — sin. ^nb y. sin. — r— * x sin. a 



/ n + 1 

 COS. a X sin. i ft + cos. a + ft 



SID. ^ ft 



I sin. 4 ni 



^ill. ^ ft 

 ro«. (n + ,i n Al -in. -^(n + lift ,^ 



MM. ift -CIA') 



Vol. XV. N° V. Y 



