— 150 — 



(4) "„+V,+ + «.'-l 



devient toujours infiniment petite pour des valeurs infini- 

 ment gr andes des nombres entiers n et n > n, la serie (3) 

 sera convergente, et la somme S de la serie (3) sera, entré 

 les limites données, fonction continue de la variable x.y> 



Vid samma tillfälle har ock Hr Cauchy erinrat, att genom 

 en sådan énoncé af theoremet man icke kan komma att af den 

 omständigheten, att seriens 

 (1') sin (p, ^ sin 20, ^ sin 30, etc. 

 termer äro continuerliga functioner af i granskapet af t. ex. 

 = o, för hvilken 0-valör serien är convergerande, draga den 

 falska slutsats, att »la somme de la serie est aussi, dans le 

 voisinage de cette valeur particuliére, fonction continue de 0.» 

 Han visar nemligen, att i detta fall vilkoret, i det nya theo- 

 remet, »si dailleurs la somme infiniment grandes des 



nombres entiers n et n'>?i,» icke är uppfyldt för 0-valörer 

 indefinit nära intill o, eller — hvilket tydligen är detsamma — 

 att serien ('!') i sjelfva verket icke är convergerande för sä- 

 dana 0-valörer. — 



Anmärkning. Af det i förra Anmärkningen yttrade är tyd- 

 ligt, att detsamma kan sägas angående serien (2) eller, 

 för enkelhets skull, serien 

 (5) (''-#), x\\— x), x A (\-x), x\\-x), etc. 



För denna serie antager nemligen summan (4) i del 

 nya theoremet formen 



(4') x* n (\-x)+x in +*(]-x}+x in+ \]-x)+ +x tn '-\\-x), 



och den förblir icke »toujours infiniment petite pour 

 des valeurs infiniment grandes des nombres entiers 

 n et n' > n.» 



För n = oo är den nemligen, ehvad helt tal n ma 



vara, 



x tn 

 = x' n (\-x)[i+x' i +x*+ ]= , 



