— 152 — 



•»Bevis. Emedan serien (6) ar convergerande för hvarje 

 »as-valör från och med x Q till och med X. måste — ehvad 

 »valör an må tilldelas x, blott alt den icke öfverskrider 

 »nämnde gränser — summan 



» — 2Ä7F {k belt tal eller o) continuerlig function af x, eftersom 

 »denna summa t. ex. för hvarje ar-valör inom gränserna n och o 



»är = , men =o för x=o\ och likväl kan icke nekas, att 



2 ' 

 »denna series termer äro continuerliga functioner af x i granska- 

 »pet af den partikulära valören x=o, för hvilken äfven sjelfva 

 »serien är convergerande. 



»Att. det ofvanstående theoremet är oberoende af detta slags 

 »objectioner, inses lätt af delsammas bevis. — Sä t. ex. är väl 

 »serien (a) convergerande för hvarje uppgifven a;-valör inom grän- 

 »serna o och 2jt; men ingalunda är man derföre berättigad till 

 »det omdöme, att serien är convergerande för hvarje a>valör från 

 »och med den ena gränsen till och med den andra. Tvärtom kan 

 »man just pä grund af vårt ofvanstående theorem vara förvissad 



natt så icke är. — 



»I sammanhang härmed må vid detta tillfälle erinras om en 

 »i serietheorien ganska vigtig omständighet, hvarvid författare un- 

 »derstundom befinnas ännu icke fästa tillbörlig uppmärksamhet, 

 »ehuru å andra sidan torde få antagas, att man om sjelfva saken 

 »redan länge varit temligen öfverens, den omständigheten nemli- 

 »gen, att, sedan man tiUåfventyrs funnit en serie, hvars termer äro 

 »functioner af en variabel X, rara convergerande för hvarje x-valör 

 »intill en viss gräns X, man icke må tilltro sig att deraf sluta till 

 »seriens convergens äfven för x-ralörcr in de fin it nära intill nämnde 

 »gräns. Att sådan slutsats icke är legitim vid sädana serier, som 

 »äro divergerande för ir=X, derom synes intet tvifvel vara; t. ex. 

 »vid serien 



(b) cosjc, icos2.r, Jcos3;r, etc, 



»som är convergerande för hvarje uppgifven ar-valör inom grän- 

 »serna o och 2ti, men divergerande lör sjelfva dess gränsvalörer. 

 »Men att serien (a), som väl kan sägas vara convergerande äfven 

 »för dessa griinsvalörer, ändock icke är convergerande för af-va- 

 »lörer, sam, begränsade af o och 2jt, supponeras närma sig der- 

 »intill indefinit, är icke så alldeles sjelfklart. 1 sådana fall kan 

 »värt ofvanstående theorem esomoftast tjena till undanrödjande af 

 »all tvekan. — Emedlertid, i en sak, så bekant som denna, om 

 »ock icke alltid nog uppmärksammad, behöfves ingen vidlyftighet; 

 »det torde dock icke vara utan sin nytta att en gång halva i 

 »tvdliga ord omnämnt förhållandet. 



