— 154 — 



»n är således function af % och &), men oberoende af et). Då 

 ■»är ock sjelfva r n numeriskt < <a, enligt livad förberedelsevis 

 »här ofvan nämndes. — Ehvad valör nu må tilldelas et (sådan 

 »neml. som ofvan nämndes), måste naturligtvis en (eller flere) 

 »af termerna 



/;(*+«)-/.(*), «*+•)-«*) tt*+«KM 



»vara numeriskt den största. Utmärkes den med 



»då således m betyder ett helt tal, som kan vara function af 



»a, men som åtminstone icke öfverstiger n; så är med all sä- 



»kerhet 



(Z+ct) (z) 

 S — S—r n numeriskt icke > num. val. af n[f m (z+et)-f m (z)~\. 



»Och som f m {x) var continuerlig mellan x o och X (och n obe- 

 »roende af et); så är uppenbart, att cl kan tilldelas så liten 

 »numerisk valör, att 



»num. val. af n[f m (z+ct,)—f„(z)'] blir < u. 

 »Det öfriga är sjelfklart». — 



Man finner häraf, ej allenast att frågan om behofvet af 

 någon modifikation af det ursprungliga Cauchy'ska theoremet 

 redan år 1846 varit väckt inom Vetenskaps-Societeten i Upsala 

 och att ett försök att afhjelpa detta behof blifvit genom dess 

 ■»Nova acta» för samma år offentliggjord^ utan ock att resul- 

 tatet af detta försök, neml. det nyss citerade theoremet helt 

 och hållet öfverensstämmer med det i art. 1 af denna uppsats 

 citerade, af Hr Caughy i år uppgifna nya theoremet, så vidt 

 de neml. båda angå serier med reela termer. Ty hvad beträf- 

 far den skenbara olikheten mellan dessa båda theoremer, att 

 neml. det ena — det i Nova acta — statuerar, att om se- 

 rien (6) är convergerande för hvarje x-valör från och med 

 den ena gränsen till och med den andra, så etc, men det 

 andra, eller Hr Cauchy's nya theorem, att om, för hvarje x- 

 valör mellan gränserna, summan 





