— 155 — 



städse blir indefinit liten för indefmit stora helt-tals-valörer 

 af n och ri>n, så är serien convergerande för livar je så- 

 dan x-valör, och etc, så består uppenbarligen denna olikhet 

 endast i ett olika sätt att uttrycka samma vilkor, alldenstund 

 serien (6) endast då är convergerande, när den i Hr Cauchys 

 theorem nämnda egenskapen hos summan (i') eger rum. — 

 Härvid bör dock icke lemnas onämndt, att Hr Cauchy's nya 

 theorem är i så måtto vidsträcktare än det i Nova acta, att 

 det sednare — både till énoncé och bevis — är inskränkt till 

 serier med endast reela termer, då deremot det förra omfattar 

 äfven serier med imaginära termer (neml. imaginära functioner 

 af en reel variabel). I hvilket afseende likväl må erinras, att 

 man, för att göra theoremet i Nova acta lika vidsträckt, en- 

 dast behöfver i dess énoncé uttaga orden »af reela termer» 

 och efter det ofvan citerade beviset — hvars grundlighet, i 

 anseende till sakens vigt, väl torde förtjena uppmärksamhet — 

 tillägga den anmärkning, att när termerna (6) icke äro reela, 

 men likväl (enligt suppositionen) continuerliga functioner af x 

 mellan limites, dels enhvar af dem nödvändigt kan sättas un- 

 der formen 



neml. hvardera af %{x) och ty n (x) en sådan function af x, 

 som fjpo) i det föregående beviset supponerades vara *), dels 

 ock hvardera af serierna 



<Pi(x), 9^), <P*{x), etc. 

 *,(«), ^Jx), ^ 3 (x), etc. 



nödvändigt är en sådan, som i samma bevis serien (6) suppo- 

 nerades vara, hvarefter conclusionen är sjellklar. — Erkännas 

 bör ock, att Hr Cauchy i samma sin uppsats omedelbart efter 

 det nu omnämnda theoremet angående serier, hvilkas termer 

 äro functioner af en reel variabel, i korthet deducerat ett ana- 



*) Se t. ex. min afhandling »Om det Caucht/ska kriteriet på de fall, 

 da functioner af en variabel låta utveckla sig» etc. mot slutet af 

 art. 2 (Vetensk. Akademiens Handl. for Sr 1852, sid. 175.) 



