— 156 — 



logt theorem äfven för serier, hvilkas termer äro functioner af 

 en imaginär variabel. — 



3. Men Hr Aiwdt's ofvannämnda uppsats föranleder sär- 

 skildt ännu ett par andra citationer ur förbemälta afhandling 

 i Nova acta. 



Såsom redan i den förra af de båda anmärkningarne i 

 art. 1 här ofvan blifvit antydt, synes Hr Arndt icke lägga 

 tillbörlig vigt på det försigtighetsmåttet att, sedan man funnit 

 en serie af formen 



(6) f,(x), fix), f t {x), etc. 



vara convergerande för hvarje uppgifven reel rr-valör inom 

 ett par gränser x och X, icke deraf obetingadt sluta till se- 

 riens convergens äfven för £C-valörer (inom gränserna) indefinit 

 nära intill någondera gränsen, t. ex. A', icke en gång om sjelfva 



serien 



f{X), f,(X), f 3 (X), etc. 



skulle kunna sägas vara convergerande. — Utom hvad i detta 

 afseende redan blifvit erinradt i den citerade noten under tex- 

 ten vid mitt i art. 2 här ofvan reproducerade theorem (ur af- 

 handlingen i Nova acta), torde har icke vara olämpligt fästa 

 uppmärksamheten derpå, att, om detta försigtighetsmått icke 

 vore af nöden, man icke allenast — på grund af det nyss- 

 nämnda theoremet eller, som är detsamma, af Hr Ca.uchy's nya 

 theorem, om hvars pålitlighet åtminstone det här ofvan citerade 

 beviset icke lärer lem na några dubier öfriga — skulle vara 

 nödsakad medgifva, att t. ex. seriesumman 



sin 9 + J sin 2<p + ^ sin3<£ + etc. 

 vore en continuerlig funclion af (p mellan gränserna <p=o och 

 <p = 7r, utan ock — på grund af nedanstående korta raisonne- 

 ment *) — skulle nödgas medgifva den orimligheten, att för 

 (p — o denna summa skulle vara = — , alldenstund formeln 



— ■-- = sinp + ^sin:2<£ + JLsin3<£+ etc. 



*) Detta raisonnemenl innefattas i följande utdrag ur Pars 2.cla af 

 mina Doclriim serierum in/initarum cxercilationcs (Nova acta, T. 

 XIII, 1846, pas- 157): 



