— 157 — 



gäller för hvarje uppgifven reel ^»-valör inom nyssnämnde grän- 

 ser, och lim——, vid indefinit emot o convergerande <p, är — • — 



Vidare, ehuru Hr Arndt icke, såsom Hr Cauchy i sin 

 »Note,» uppgifvit någon ny redaktion af det ofvannämnda, med 

 rätta tadlade, Cauchyska theoremet i sin allmänlighet, har han 

 likväl för den speciela händelsen, att serien är en sådan som 

 fortgår efter de stigande digniteterna af en reel variabel, sta- 

 tuerat ett theorem analogt med det ur Nova acta här ofvan 

 citerade, dock med bifogadt vilkor att serien förblir conver- 

 gerande äfven efter dess termers utbytande mot deras nume- 

 riska valörer. — I anledning af denna sistnämnda omständig- 

 het, må det tillåtas mig att dels anmärka, att obehöfligheten af 

 detta särskilda förbehåll, i hvarje fall då serien (6) är utan 

 afbrott convergerande för hvarje as-valör från och med den 

 ena limes till och med den andra, är till fullo ådagalagd ge- 

 nom det ofvan citerade theoremet ur Nova acta, dels ock sär- 

 skildt erinra i afseende på serier, som fortgå efter de stigande 



»Om man funnit, att följande eqvation med reela termer 

 (c) F(x) = f x (x) +f 2 (x) +f. i {x) + etc. 



»är sann för hvarje uppgifven reel a>valör från och med någon 

 »gräns x=x ända till x=X (exclusive), och om seriens i detta 

 »sednare membrum termer äro continuerliga functioner af x mel- 

 »lan dessa gränser x och X, samt om derjemte denna serie för- 

 »blifver utan afbrott convergerande för hvarje ar-valör (mellan li- 

 »mites) ända till och med x=X; så vet man af Theor. II i Pars 

 »1.ma» (d. v. s. det här ofvan i art. 2 citerade theoremet), 

 »att sjelfva summan 



(d) fi(*) + M*)+f»tå~+ etc - 



»nödvändigt måste vara continuerlig function af x mellan nyss- 

 »nämnda gränser. — Och eftersom nu F(x) rätt uttrycker denna 

 »summa för hvarje uppgifven x-valör (mellan gränserna) ända till 

 »X=X (exclusive) — hvaraf, enligt nyssnämnda Theor. II, följer 

 »att denna F(x) är continuerlig mellan x=x och x= en upp- 

 »gifven valör hvilken som helst inom gränserna X och X — ; 

 »är tydligt, att, om F{x), vid indefinit mot X (ifrån x -hållet) con- 

 »vergerande x, sjalf convergerar indefinit mot någon finit och deter- 

 wminerad gräns »lim F(x)», man, för att finna summan af den 

 »convergerande serien 



(e) 7W, faX), UX), etc, 



»endast behöfver uppsöka denna gräns.» 



