— 158 — 



digniteterna af x, att, om en sådan befunnits vara converge- 

 rande för någon speciel x-valör = X, den verkligen är con- 

 vcrgerande för hvarje x-valör (utan afbrott), som icke ligger 

 utom gränserna x = o och x = X*); hvarföre man ock utan 

 tvekan kan, sedan man funnit en sådan serie vara converge- 

 rande för någon speciel x-\a\ör = X, deraf sluta, att seriens 

 summa är en continuerlig function af x mellan gränserna x=o, 

 x=X. 



Slutligen torde, med anledning af de näst före anmärk- 

 ningen i början af närvarande uppsats citerade orden ur Hr 

 Arndt's afhandling, få som hastigast vidröras ännu ett moment 

 af serietheorien, som man icke sällan finner vara lemnadt å 

 sido. Man synes nemligen understundom obehörigen identificera 

 en seriesumma 



(6) A(*) +/",(*) +/". v a + etc. 



med den function F(x}, som man tilläfventyrs funnit vara con- 

 gruent med denna seriesumma mellan vissa gränser **), då det 

 likväl ganska ofta kan inträffa, att serien 



A0*)» /"*(*)> f*( x )> etc - 





*) Denna sats äfvensom det bevis för densamma, som jag uppgifvit 

 i A o ra acta T. XIII pag. 158, utgöra hvardera en af behofvet 

 påkallad ny redaktion af Abels motsvarande sats och bevis [Oeuvr. 

 compl. T. I p. 69). 



k *) Så t. ex. synes Hr Arndt i de nyssnämnda citerade orden (tagna 



i sammanhang med det näst förut i hans uppsats yttrade) vilja 



bedömma naturen af seriesumman 



a**(t— x )+x mi *{i— x) + etc. 



efter functionen 



x vn 



1+x 

 äfven för x-valörer incle/inil nära intill 1, då likväl för sådana 

 x-valörer dessa båda alldeles icke äro identiska (se anmårkn. näst 

 efter de citerade orden). 



Samma inadvertens måste man med allt skäl tillvita enhvar, 

 som angående serien (l) påstår dess summa vara = i <p äfven 

 för qp-\alörer indefmit nära intill n eller — n- Man kan visser- 

 ligen säga, alt summan 



sin op — \ sin 2<p + J sin 3<p — etc. 

 är =^<Jp för hvarje uppgifven x-valör numeriskt < 71, men all— 





