Ett analogt theorem kan härledas vid betraktande af fel- 

 fördelningen, då en punkts sannolika läge i rymden bestämmes. 



Man kan här tänka sig en oändlig mängd ellipsoider dragna, 

 omslutande en viss del af felen, och problemet är att bestämma, 

 hvilken af dessa ellipsoider äger minsta volym. Afven här inses 

 omedelbarligen, att denna ellipsoid måste hafva sin medelpunkt 

 i den ifrågavarande punkten, och att dess axlars rigtningar äro 

 parallela med dem längs hvilka uppmätningen skett. 



Sannolikheten att ett fel skall falla inom ett volymelement 



i l j o 7/22 z. ' ' 2 ^ 



dxdydz är xx'x"e~ y '"dxdydz, der h, Ii, h", x, x ', x" 



hafva den vanliga betydelsen, och sannolikheten att felet skall 



x 1 y 2 z 2 

 ligga inom ellipsoiden med eqv. — 2 + — + -- = 1 är 



S 



/* r c 



8xx'xydxe- h2x Jdije-''^ 2 Jdze- h '' 2z2 4. 



ooo 

 4 

 Ellipsoidens volym är -jiabc. Betraktar man nu a och b 



som variabla, så måste c vara en funktion af dem, till följe af 

 eqv. 4, der S antages hafva erhållit ett bestämdt värde. De 

 värden på a, b och c, hvilka motsvara minimi-ellipsoiden, måste 



satisfiera de båda eqv. 



( rl c c 

 ( adc + cda = O l — = 



eller '" a a K 



bdc + cdb = O 



\dc _ c 

 \db~~J 



Differentieras eqv. 4 i afseende å a, hvarvid c betraktas som 

 funktion af a, men b som konstant, erhålles 



f~-"sfi>~™/* > 



tVi-K oV,_4_£ 



er b~ 



~ h z = 0. 



Nu är 



yr» a 3 /» a 2 6 2 /» o 2 /» a 2 6 2 



dye Jjdze =Jdye -Jdze . 



