— 60 — 



icke kan vara en särskilt samtidig solution till (2). 



H. S. B. 

 Theorem I. Om 



(6) /, = «t,/ s = a s > ■•••/. = «» 



äro n särskilta samtida solutioner till 



dx rf.r, _ dx„ 



"^ T = 1\ ~ z ~p^ 



så måste i /,,/., /„ de variabla *, a?, *„ på ett sådant 



sätt ingå, att 



(8) . .'. . • /«/»,/=/„..../=*=/, 



identiskt satisfiera 



(9) . . .v f+ ±l p v P + AL £_■, 



v ' dx Ar, * dr 2 2 dx„ 



Bevis. Låt f k utmärka hvilken som helst bland /, f t /„. 



Genom differentiering erhålles i allmänhet 



d f> = lx- dx + dx-^> + -----dx-, dir » 

 och om emellan de variabla en sådan relation eger rum som be- 

 stämmes af formlerna (6) d. v. s. af (7), måste 



*Å */* */* *A „ 



(io). . *p + -fip J + -?-p s+ ~P r ,= o. 



v ' f/.r dx x ' rfa\, 2 rf.r,, 



Men om denna formel icke vore identiskt O, skulle derigenom 



en relation 



yj,. (x, åc t . . . . a u ) == O 

 fixeras mellan de variabla, ur hvilken jemte de n — 1 relationerna 



/i = «i i ft - a n fk-i = «i-u //H-i = °Wi > /» = % 



man genom eliminering skulle erhålla 



x, = (f t (x, a t a 4 _ t , a, +I a„) 



i x 2 = (f t (x, a, a 4 _, , a, f+1 a n ) 



(ii) . . . c . 



hvilka värden insatta i 



