— 387 — 



Ett problem, beträffande vissa klasser af andra gra- 

 dens ytor. — Läraren vid Chalmerska Slöjdskolan i Göteborg 

 Hr G. R. Dahlander hade insändt följande uppsats. 



»Om man genom en punkt inuti en ellipsoid, hyperboloid 

 med tvenne dukar eller elliptisk paraboloid tänker sig olika 

 plan vara dragna, så afskära dessa i allmänhet segmenter af olika 

 volymer, och det kan vara af intresse att lära känna, hvilket 

 plan afskär det minsta segmentet. Vi skola härvid, för att 

 undvika öfverflödig vidlyftighet, betjena oss af de uttryck för 

 segmenterna af andra gradens ytor, hvilka blifvit gifne af Herr 

 Unferdinger i Grunerfs Archiv för Mathematik und Physik. 



Låtom oss först betrakta ellipsoiden med eqvationen 



,-r 2 y 2 z 2 



— I--H — 1. Antag inuti densamma en punkt med koordi- 



a- b- c 2 r 



naterna x l , y x , z y och ett plan z — z x — A (x — x ) + B (y — y y ), 

 gående genom denna punkt. Volymen af det afskurna segmen- 

 tet är nu: 



T7 ti a be (?/i + l) (k— \) 2 ,„ , V" 2 A- + b 2 B> + c 2 



v = ; , da k — • 



3 h 3 z,-Ax x -By, 



Eqvationerna, hvilka bestämma de värden af A och B, som 



göra V till ett minimum äro: 



dv n i dv a ir 



— - = och — - = , eller 



dA dB 



dV elh n , dr dh 



---. 7 =0 och — = 0. 



dh dA dh dB 



Då nu . = 7i abc f — — — J, hvilken expression ej kan vara 



lika med noll, så framt ej /t 2 — 1 , hvilket är omöjligt, emedan 

 alltid A 2 >1, när punkten x x , ?/,, z t ligger inuti ellipsoiden, så 

 måste 



f = och å ± = 0, 

 dA dB 



Man erhåller härigenom följande eqvationer för att bestämma 

 A och B: 



') Grunerfs Arcliiv XX VII I Tli. pag. 83. 



Ö/vers. aj K. Vet-Akad. Förh. , J. 12 Octobtr W59. 



