— 389 — 



Man finner lätt, att dessa värden tillhöra det sökta minimi- 

 segmentet, och det plan, som begränsar detta, har således för 

 eqvation 



*i (z—z,) y, (y— iM x, (x— x,) _ 



c 2 b 2 a 2 



Men det konjugerade planet till den genom den gifna punk- 

 ten gående diametern till hyperboloiden har för eqvation 

 *i* Vj/y x, x = q 



c 2 ' ' b 2 ' ' a 2 ~ 



Häraf och af det, som förut blifvit anfördt, beträffande el- 

 lipsoiden, kunna vi härleda följande theorem: 



Af alla plan, som gå genom en gifven punkt inom en 

 ellipsoid eller hyperboloid med tvenne dukar, afskäres den min- 

 sta segmentet af det plan, som är parallelt med den genom 

 punkten gående diameterns konjugat diametralplan. 



Låtom oss slutligen betrakta den elliptiska paraboloiden 



x 2 v 2 o 



z = — i — och antag, att ett genom punkten x x , y x , z x gående 



plan z — z 1 — A(x — x x ) + B (y — y^) afskär ett segment, hvars 

 volym då är*) 



V= 1 n VpJ(A*p + B*q + 4 (z^-Ax^Byjy. 



De värden, som motsvara minimi-segmentet, erhållas ur eqva- 

 tionerna 



dv a dv n 11 



— = 0, — = eller 



dA ' dB 



(A'p + B'q + 4 (z y —Ax x —ByJ) (Ap — 2x 1 ) = 

 (A*p + B>q + 4 (z t - Ax x - ByJ) (Bq - 2y x ) = 0. 

 Men den första faktorn i båda eqvationerna kan tydligen ej 

 vara noll. De enda värden på A och B, som kunna motsvara 



2x 2y 



ett minimi-värde på Färo då A = — -, 2? = —, och det plan, 



P 1 



som afskär det minsta segmentet, har för eqvation z — z x . 



(y—y x ) — |p(*— *i)"«0. 



") Grunert'* ArcMv XXIX Th. pag. Ti\. 



