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1° Si les deux surfaces proposées sont des paraboloïdes ,• 



2° Si elles sont deux hijperboloïdes à une nappe ayant une 

 génératrice commune. 



La surface conique n'est que du second degré dans les trois cas 

 suivans : 



1° Si les deux surfaces proposées sont concentriques j 



2" Si elles sont deux paraboloïdes hyperboliques ayant une gé- 

 nératrice commune; 



3° Si elles sont deux hyperboloïdes à une nappe ayant deux 

 génératrices communes. 



Démonstration. Concevons que du point donné S on 

 abaisse des perpendiculaires sur tous les plans tangens de 

 chacune des deux surfaces données A, B, et que sur ces 

 perpendiculaires on porte, à partir du point S, des seg- 

 mens qui soient en raison inverse de leurs longueurs. Les 

 extrémités de ces segmens seront sur deux autres surfaces 

 du second degré A', B', qui seront, suivant le principe de 

 dualité, les figures corrélatives des deux surfaces propo- 1 

 sées, ou bien les polaires réciproques de ces surfaces, par ' 

 rapport à une sphère ayant le point S pour centre et son 

 rayon égal à l'unité. Les points d'intersection des deux sur- 

 faces A', B', seront sur les perpendiculaires abaissées sur les 

 plans tangens communs aux deux surfaces A, B. Celle courbe 

 est une ligne à double courbure qu'un plan transversal 

 quelconqne rencontre en quatre points (réels ou imagi- 

 naires) ; donc ces perpendiculaires forment un cône qu'un 

 plan quelconque, mené par son sommet, coupe suivant 

 quatre génératrices (réelles ou imaginaires). Donc ce cône 

 est du quatrième degré. 



Ce qu'il fallait prouver. 



Quand les deux surfaces proposées sont des paraboloïdes 

 (hyperboliques ou ellipliques), elles ont un plan tangent 

 commun situé à l'infini; de sorte que les deux surfaces 





