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 corrélatives A', B', passent par le point S. Ce point est 

 donc situé sur leur courbe d'intersection ; et le cône qui 

 a ce point pour sommet et qui s'appuie sur cette courbe 

 ne peut donc plus être coupé par un plan mené par son 

 sommet que suivant trois arêtes, et , conséquemment , est 

 du troisième degré. 



Si les deux surfaces proposées sont des hyperboloïdcs à 

 une nappe ayant une génératrice commune , les deux sur- 

 faces A', B', seront aussi des hyperboloïdcs à une nappe 

 qui auront une génératrice commune; leur intersection se 

 composera de cette droite et d'une ligne à double cour- 

 bure du troisième ordre; donc le cône qui s'appuiera 

 sur cette intersection se composera d'un plan et d'une sur- 

 face conique du troisième ilegré ; ce qui , en faisant 

 abstraction du plan, démontre la troisième partie du théo- 

 rème. 



On voit pourquoi on trouve ici un plan. C'est que les 

 deux hyperboloïdcs proposés ayant une génératrice com- 

 mune, tout plan mené par cette droite est un plan tangent 

 commun aux deux surfaces ; et toutes les perpendiculai- 

 res abaissées du point donné sur ces plans sont toutes 

 dans un même plan perpendiculaire à la génératrice com- 

 mune aux deux surfaces. 



Si les deux surfaces sont concentriques , prenons leur 

 centre pour le point d'où l'on abaisse les perpendiculaires. 

 Les surfaces A', B', auront aussi ce point pour centre, et 

 leur courbe d'intersection sera, comme on sait, sur un 

 cône du second degré ayant son sommet en ce point. C'est 

 le cône formé par les perpendiculaires aux plans tangens 

 communs aux deux surfaces proposées. 



La démonstration des autres parties du théorème n'offre 

 aucune didiculté ; elle n'est que la répétition des raison- 



