( 563 ) 

 lieux autres surfaces du second degré qui se couperont 

 suivant une ligne à double courbure du quafrième ordre. 

 Pour construire cette ligne , il faut porter sur les perpen- 

 diculaires abaissées du point S sur les plans tangens com- 

 muns aux deux surfaces proposées, des segmens qui soient 

 en raison inverse des longueurs de ces perpendiculaires ; 

 les extrémités de ces segmens seront sur la courbe en ques- 

 tion. Or si l'on conçoit un plan transversal qui coupe la 

 ligne lieu des pieds des perpendiculaires, et que sur cha- 

 que rayon mené du point S à chaque point de ce plan , on 

 porte un segment égal à la valeur inverse de ce rayon, les 

 extrémités de ces segmens seront, comme on sait , sur une 

 sphère passant par le point S. A chaque point d'intersec- 

 tion de la courbe lieu des pieds des perpendiculaires par le 

 plan transversal, correspondra un point d'intersection de 

 la courbe à double courbure du quatrième ordre par la 

 sphère , et réciproquement. Or, cette courbe étant du qua- 

 trième ordre , elle sera rencontrée par la sphère , en général 

 et au plus, en huit points. Donc le plan transversal ren- 

 contre la courbe lieu des pieds des perpendiculaires , géné- 

 ralement et au plus, en huit points. Donc celte courbe à 

 double courbure est du huitième ordre. 



Quand les deux surfaces proposées sont desparaboloïdes 

 elliptiques ou hyperboliques, la courbe du quatrième ordre 

 passe par le point S, ainsi que la sphère. Celte courbe et 

 celte surface n'ont que sept autres points de rencontre. On 

 en conclut que la courbe , lieu des pieds des perpendiculai- 

 res , n'est que du septième ordre. 



Si les deux surfaces sont des hyperboloïdes à une nappe 

 a^ant une génératrice commune , leurs polaires seront aussi 

 des hyperboloïdes ayant une génératrice commune; leur 

 ligne d'intcrscclion, indépendamment de celle génératrice, 



