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sera une courbe a double courbure du troisième ordre, que 

 la sphère ne rencontrera qu'en six points. D'où l'on conclut 

 que la courbe lieu des pieds des perpendiculaires est du 

 sixième ordre. 



Si les deux surfaces sont des paraboloïdes hyperboliques 

 ayant une génératrice commune, leurs surfaces polaires 

 seront deux hyperboloïdes à une nappe passant par le point 

 S et ayant une génératrice commune. L'intersection de 

 ces deux surfaces sera donc une courbe à double cour- 

 bure du troisième ordre passant par le point S. La sphère 

 rencontrera cette courbe, en cinq points au plus, autres 

 que le point S; d'où l'on conclut que la courbe lieu des 

 pieds des perpendiculaires est seulement du cinquième 

 ordre. 



Si les deux surfaces proposées sont des hyperboloïdes à 

 une nappe ayant deux génératrices communes, leurs po- 

 laires seront deux autres hyperboloïdes ayant aussi deux 

 génératrices communes et se co'upant suivant une coui'be 

 plane, c'est-à-dire une conique. La sphère rencontrera 

 cette courbe en quatre points au plus. On en conclut que 

 la courbe, lieu des pieds des perpendiculaires, n'estque du 

 quatrième ordre. 



Enfin si les deux surfaces sont des paraboloïdes hyperbo- 

 liques ayant deux génératrices communes, leurs surfaces 

 polaires seront deux hyperboloïdes ayant deux génératrices 

 communes ,et se coupant suivant une conique qui passera 

 par le point S. La sphère ne rencontrera cette courbe qu'en 

 trois autres points. On en conclut que la courbe lieu des 

 pieds des perpendiculaires est seulement du troisième or- 

 dre. 



Ainsi le théorème est démontré dans toutes ses parties. 



