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 toute l'étendue d'une de ses génératrices par un hyperbo- 

 loïde à une nappe. Car cette génératrice et les deux sui- 

 vantes, infiniment voisines, sont trois droites qui déter- 

 minent un hyperboloïde qui sera osculateur à la surface 

 suivant toute l'étendue de la première génératrice. 



En géométrie, on construit facilement cet hyperboloïde 

 osculateur. Pour cela , par la génératrice de la surface, on 

 mène trois plans arbitrairement , qui coupent la surface 

 suivant trois courbes; ces courbes rencontrent la généra- 

 trice en trois points qui sont ceux où les trois plans sont 

 tangens à la surface; par ces points on mène les tangentes 

 aux trois courbes respectivement; et ces tangentes sont trois 

 génératrices du second mode de génération de l'hyperbo- 

 loïde cherché; cet hyperboloïde est donc déterminé. 



J'ai donné cette construction dans les ÈUniens de géo- 

 métrie à trois dimensions de M. Hachette (partie synthé- 

 tique: in-8°, 1817 , pag. 86). Je me propose ici de résoudre 

 la même question analyliquement , c'est-à-dire de trouver 

 l'équation de l'hyperboloïde osculateur à une surface 

 gauche suivant une de ses génératrices. 



La droite génératrice d'une surface-gauche, considérée 

 dans une position quelconque, a ses équations de la forme 



] y = ■^y.z -+- ra,. 



a étant une variable, et (p, t/', ti trois fonctions, de forme 

 constante , qui déterminent la surface individuelle que 

 l'on considère. On obtient l'équation de cette surface en 

 éliminant a entre ces deux équations. 



Si cette équation de la surface était connue, en appli- 

 quant l'analyse aux considérations géométriques que nous 



