18 NOTE SUR UNE METHODE POUR LA RÉDUCTION d'INTÉGRALES DÉFINIES 



Pour k^i, 011 a K/, ,1 = G-n , L/,,i = Go^ ^. , ; on a dans ce cas poui 

 ces formules : 



_(A_l)(2/i_3)27'G2/,_,. 



ü == />2G2/,+3 — {pVy"+A(;iA+l)} ;JG,/,+, +{y,V/-^ + 2(M^— 2 /* - l)},y = G2/,_i 



— (h -1)(2A— 1)2-/^ G2/,-:i, 



équations, qui sant identiques par la substitution des lornuiles (/"), comme il 

 doit être. 



Au contraire^ Ton pourrail aiissi ramener les formules (?) au mèmc index 

 h : dans ce cas on a les substilutions 



K;,,<. = K/i-iz-i+v^Ka-i/- , L/,,a. =L/,_i/_i+7^L/,_i/-, 



K/i+i,i'= K/,_i,j,— 2+2'/Mv/,— i,i— if '/''K/,-!,/;, L/,+i,t^L/,_i,t-2+27^L,',-i,/.—i+'/' ]>/,_!,/,. 



A l'aide de ces formules, en diminuant k d'unc unité, et en augmenlanl li 

 d'une unité, après les subslilulions diverses, on a eniin : 



O = — i-(/.-— l)4f/» KA,i+i + (4/i-4/,-+5l(/^-lj2 7'Ku- ^ 



+ |P' ?^— 2(/;— /i-2) (2/0-2/4—3)! Kv,_i + p' K/,,i_.,, ^ 



O = — t(/,_i)4 7'L/,,i. + , +(4A— 4/c+7)(/.— l)2 7^L/„i l' ' 



+ {y,^52_2 (i._A_2) (2 k-Z h—r,) ] L/,,/._i + p' L/,,i— 2 . j 



Pour h = O, on a Ko,a = H^ , Lo,i = I*: donc ces formules donneut: 



ü = _ /.•{/,— 1) -Ir/ ^ Hi+ , — ('tó— 5)(i-l)2r/^H/,+(p V/^— 2(/;— 3)(:l^-3)| H<._, ■^-p-'B.k-i, 

 O = - /■{/„— l).l.j' I/,+ , _ {4/:-7)a— l)2j^ I/,+ 0>^7^ - 2(/.— 2X-2/.'-i) j I/.-1 ^-p^' T/l-2. 



Ces derniers résultals doivont ètrc identiques avec les formules (</) et (/») ; 

 en cffet la substitution do ces dernières en demontrc ia vérité. 



Si les formules (y) et (/;) étaient déja trop compliquécs pour se traduire en 

 expression générale, simple, a plus forte raison ces formules (j), (/*) ou (/) 

 ne pcrmeltent' pas de clierclier uu tel résullat. iNéamnoins elles sont propres 

 a déduire dans cliaque cas spécial, pour des valeurs donnécs de h et h, une 

 integrale \it,,k ou Lh,k, soit par les formules ((j) et (//), soit par los équa- 

 lioiis (9) et (10) en faisanl usage respectivenicnt des équations (/>) ou (/); 

 la derniérc voic sera bien la plus aisée a suivre. 



