2 RÉDUCTION DES LNTÉGRALKS DÉFINIES GÉNÉRALES. 



On peut ;ipi»Iiqiier celle méllioilo a rinlégralo définie gónéralc 



a 



lüis(|u"unc cics foiiclioiis, par cxcmplc 'i' (x), ost dévelopitable dans unc sóiic, 

 (lont les termos dépendent des Cosinus ou des Sinus des mulliples successil's 

 de la variable, c'est-a-dire, lorsqu'on a : 



c c 



i( , (jt) = Ao + 2 AnCo.'.n s X OU ijTj (.r) = 2JBnSin «s.c; *) .... («) 

 1 1 



ear alurs 1'inlégrale I consislc dans unc .série de lermcs, qui auront la l'ornie 



P-«"-'-" ƒ--■"--'- 



el Ton a, en désignant nolre integrale dans les deux cas [uécédenls par 1, 

 cl I,, correspondanles a la foraie ip, (x) ou <r^ [x] dans les formules («), 



J,=j /{^■).y,{sHc=j /{.r)JxL, + SA,,Cos.nsJ^^A,j f,x)dx + é\„^ (A) 



'af* a a 



1 ^ = / f{a:) <r^{x)dx=^\ f (.r) d x ^ B,', Sin. nsar = -S" B„ ƒ /{cc) Sin. ns xdx . (B) 



a 'a I' 



.Mais CCS deux formules g(''néralcs donncnt lieu a quehpies observalions. 

 En premier liou, c peut ètre un' nombrc llni, de sorte (|ue la .si'rie iriiité- 

 gralcs dans ces formules est elle-mèmc finie, alors les formules {(i), (A) et 

 (IJ) valcnl loujours sans aucunc restriclion. Au contraire cela n'a pas lou- 

 jours lieu, quand c devient infmi, que la série dans ces formules se prolongc 

 a rinlini clle-mènie : il faut alors, que les séries (a) soient convcrgentes ponr 

 liiutes les valeurs de x, situées entre les limiles a et b de rinlégration; cl 

 i'ucorc i'aul-il cpie les séries (A) el (Bj soient convcrgentes, lorsque les in- 

 Icgralions ont élc cffectuées. Ces conditions sont évidenlcs: or, la ju'cmicro 



r 



•) Le sijfne de sommntion S [ (») 



1 



iltïsigne ici, et pnr la suite, la serie / (1) + / (2) + /■ (a) + /(<•'); 



üü l'on voit que la lettre n rcprc-jeiite l'argiimciit qui paicourt la suite des iiombrcs nalurels de 

 » = 1 a »» = <;, et OU c doit toujoiirs ctrc un nombre cnticv. 



