REÜÜCTION DES INTEGRALES DEFINIES GENERALES. O 



est nécessaire lorsqu'on vent inlégrer ces séries entre les limilcs a cl b, c;ir 

 les équations (a) ne seraient plus loujours idenliques dans Ie cas contraire el 

 ne donneraient plus de relalion entre la série et Ia fonction, qu'clle doit re- 

 présenter: il n'cst plus permis de substituer identiquenient les séries aux 

 l'onctions, et tout Ie raisonnement, qui a conduit aux formules (A) et (B), 

 perd son exaclilude. Pour les limites n el b ellcs-mèmes pourtant cette con- 

 dition n'est pas de rigueur, car il arrive fréquemmenl, qu"aprcs Tintégration 

 Ic résullat, c"est-a-dire les inlégralcs 



j f [x] Cos.nsx dj; ou j f{x) Sin.nsxds , 



a 'a 



oblionnont néanmoins une valeur parfailement délhiie, el alors les équations 

 (A) et (B) ne cessent de subsister. Mais en sccond lieu ces séries-ci doi- 

 vent élre convergentes elles-mèmcs aprés rinlégralion, ce qui est bien clair; 

 puis(ju"aulrement elles manqueraient de somme, el que dès-lors cette sonmio 

 ne saurait élre représentée par les intégrales d(;(inies I, ou I,. 



Quant a l'usage de ces formules générales (A) el (B), Ton s'apercoit aisé- 

 nient que la fonclion f [x) doit avoir une lelie ibrmc, que les trois intégrales 



\ f[j:)dx , I f{x)Cos.nsxdx et j f (x) Siii.nsxdx (ij 



a a a 



obtiennent une valeur (inie et connue. 3Iais alors aussi les derniers membres 

 de ces formules sont des séries, qui dépcndenl seulemenl des conslanles, que 

 l'on trouve dans fintégrale chercbée; el ces séries donnenl lieu a des résul- 

 lals d"une classe dilférenle, selon qu'elles peuvent élre regardées ou non connne 

 les développements d'une fonclion connue quelconque. Dans Ie premier cas, 

 Ton obticnl une valeur finie pour l'inlégrale déliuie correspondanle et l'on a 

 clléclué une évaluation pro|)rement dile; au cas contraire, que la série ne peut 

 pas se réduire au développement d'une fonclion connue, et en outre qu'clle 

 est infinie — car une série linie retomberail sous la categorie des fonclions 

 lillies — Ton acquiert une relalion entre une integrale délinie d'nn colé cl une 

 série infinie de l'aulre; une de ces relations, qui souvent sont d'un grand intérél 

 tniit pour la llieorie des intégrales définies, (jue pour ceile des s('ries infinies. 



2. Pour nol re bul actuel, soit u =^ u, b = x el preuons /' (x) = ,jrj_^2 ' 



les inlégralcs (6) dcviendronl; 



