iQ RÉDUCTIOJi D'INTÉGRALES DÉFINIES GÉNÉRALES. 



(Ic la sommatiüii, imisquo Ie loniie u ajoulcr rcspectiveiiiciit |)Oiir n égal ;i 

 zéro est idenliquciiient nul, et n'a donc aucuiio iiilliipncc sur la valeur de 

 i"intugralo. De plus, dans les équations (L3), (O3) les sonuiialions qui s'élcndenl 

 de tl + \ jus(|ues a c oiU été décomposóes dans la diilercnce de deux autres, 

 qui vont respectivomcnt dopuis o a c et dopui? o a d; tandis que dans les 

 Ibrmules (Iji), (O,) ces mèmes sommations de d -\- \ a c sont icduitcs a 

 Irois parlies, savoir une sommation de o a c, a laquelle il faut soustraire uiie 

 autrc sommation de o a d — 1, et puis encore Ie terme correspondant u la 

 valeur d de n. La nécessilé d'unc telle division dans Ie cas acluel, n'a jilus 

 licsoin (ie preuve, nprès ce qui a clu oliservé a ce sujet dans les discutiuns 

 [irécédcntes. 



Enfin a Tégard do ces mèmes formules (Lj), (Ü4) indiquons ()ue ce ler- 



7r TT 



me détaclié, qui est respcctivement": A^ ou — 7, Uj peul èlre accueilli dans 



clia(pie sommation saus disfinetion, pourvu (pie Ton élendc la sommation re- 

 spcciive de zéro a d, au lieii de la prcudre dcpuis zéro jusipies a (/ — I. 



5. Ces vingl-trois formules (A) a (Ü4) constituent autanl de lliéorènies 

 diflërenls a Taide desquels Ie prohlème concernant la réduclion de ccltc classe 

 d'intégrales défiiiies est complètement résolu, et par losquels il est subvenu 

 convenablemeut au\ divers cas qui peuvent s'oifrir aiq)rès des suppositlons 

 spcciales. Mais ces cas, comme il arrive aisémcnt, out été bieii des Ibis per- 

 dus de vue, ([uoiqu'ici pourtant les résultats dilTéreuts entre eux nous l'appren- 

 nent^ qu'en général il faut bien discerner ces cas divers, l)ien(iu'il puisse 

 arrivcr aussi qu'une telle distinclion exacte des cas spéciaux n'ait pas toujours 

 d'influence; de cettc derniére observation les formules précédcnles (C) "i (G), 

 (K) (M) et (iN) ténioignent par éxemple. 



Les lliéorémes tiouvés sout donc très-proprcs poui' lévaluation des inté- 

 gralcs définies qui sont lellemcnt constituées qu'elles peuvent se réduirc :\ 

 quelqu'uuc des Ibrnics précédcnles. 



11. APPLICATION DE CES TIIÉORÈMES LORSQU'ON PIIEND 

 Cos.''.r, xCo^.''x, Sin." r, .t Sin." x POUU F(..}. 



0. Nous appliipierons ü présent les ihéorènics. trouvés a fétudc des inté- 

 grales définies nienlionnées, c'est-a-dire oii F (x) est de la formc tres- 

 simpic, Cos." X, X Cos." X, Sin." x, xSiii."x. A eet eiïet nous poserons on 

 premier lieii : 



