50 RÉDUCTIOK D'INTÉGRALES DÉFINIES GÉNÉRALES. 



III. DÉMONSTRATION DE QUELQUES THÉORÈMES 



GÉNÉRAUX POUR LES CAS, OU F {x) EST UNE PRACTION QUI AlT LA 



EONCTION 1 — 2 p Cos. « X + p^ POUR DÉNOMINATEUR. — 



APPLICATIONS DE CES THÉORÈMES. 



14. Trois des intégralcs Irouvées donnent lieii a l'application d'une methode, 

 qui, bien que totaloment indirecle, peut quelque fois faire naitrc des résiiltats 



interessants. Car .si l'on connaït unc integrale 



•b 

 f{.r,c)da> = F(c), 



ƒ 



Pt si Ia constante c est entièrement libre, c'cst-a-dire qu'elle n'esl pas assii- 

 jcltie a des limiles de maximum et de minimum, alors on peut donner a c 

 des vaieurs dilTórentes, et additionner toutcs les équations qui résultent de cette 

 substitution: et mème quand c est compris entre certaines limites, celle 

 niélliode continue de subsistor, pourvu qu'alors on ne surpasse pas ces li- 

 mites. Lorsque on donne donc successivcment a la constante c les vaieurs 

 5'>ö'+ ^ jfl'+2^ö' + 3.../i (et que ces vaieurs de c nc sont pas contraircs aux 

 conditions, auxquolles il est soumis) alors on peut cxprimer la somme des 

 expressions, que l'on obtient par cette methode, de la maniere suivante: 



c=/i [ /■' c-h c=h 



:S ƒ f{x,c)d:v = I dx 2: f(x,c) = ^F(c) {») 



Auprès de cette methode il iniporte donc de deux points capitawx: pre- 

 niiérement et surtoul, que la .sommalion des intégralcs puisse se réduire a Ia 

 sommation d'un seul facteur, et que cette dcrnióre sommation de nouveau 

 pui.sse ètrc oxprimée par une fonction finie — et en second lieu, que dans lo 

 .second membre de Péquation précédcnte la sommalion puisse se faire vrrita- 

 blemcnt, c'est-a-dirc donner lieu a une fonction fermée: lorsque cette der- 

 niéro condition ne se trouvc pas remplie, Tintégrale dédnie est réduile' a une 

 sommalion, c'esl-a-dire ü unc série, el l'on acquiert un de ces résullals dont 

 on a déja parlé au paragraphe premier. 



Pour en venir a Tapplicalion, que je me proposais ici, il fiuit employor les séries 



^ ^^^ i- '—'- = :S y''Cos.m{ 



(O 

 n. {(« — l}z} «-' „. I 



1 — 2 Ij Cos. z ■¥ y- 



y Sin, z — y^ S in, a z -\- t/«+> Sin. ((« — l}z} «-' 



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