DU PREMIER ORDRE AÜX UIFFÉRENTIELLES PARTIELLES. 9 



on tirc de celle équalion, en y reniplacant X par fXdx = X', 



Da. 6 X'YZ = XYZ + aX'ZÖY + iX'YÖZ 

 Passant ensuite aux intégrales par rapport a D„.j, il viendra 



S„.4 XYZ = X'YZ - aSa.6 X'ZÖY — 6S<,.j X'YöZ ...()) 



Donc, chaque fois que Y et Z seront des fonctions algébriques et entières 



des variables y et ~, révaluation de la quantité S. * V sera ramenée a celle 



de^quantités de la forme S, X Y et S^XZ. Mais, en faisant successivement 



Z-l et Y==l dans l'équation (1), celle ei donnera 



Sa XY = X'Y — aSaX'ÖY (2) 



Si XZ = X'Z — tSjX'èZ (3) 



On aura encore, en supposant X = l, 



Sa.6 YZ = aYZ — aS<,.6 a-ZÖY — èS<,.4 »YdZ . . . . (i) 

 De plus 



Sa.bX ^ jXdx , S,.4Y = -|Ydy, Sa.tZ=-^jZdz . . . (5) 



d'ou Ton voit, que dans riiypothèse dont il s'agit, révaluation de S„,4XYZ 

 sera finalenient ramenée aux intégrales ordinaires. 



§ 9. Appliquons ces formules aux deux équations traitées dans Ie § 7. 

 On aura pour la première oü Y ^ xyz, en vertu de la formule (1) § 8, 



et d'aprés les formules (2) (o) et (5) 



Sa^'^/ = i^'y — \aSaX^ = i ^'y — t'ï «*' 



Donc, en substituant ces deux valeurs^ on en tirera 



Sa.bxi/z = f x^ yz — ^ {az + bij)x^ -\- j'j a6 «» 

 resultat conforme a celui précédemment obtenu. 



Pour la seconde équation oü 1'on a V = x' + y^ + :;% on trouvora im- 

 médiatcment a l'aide des formules (5) § 8 



S„.6 ix-' +y'+z') = lx' + -^ 1/ + ^ z'. 



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VEKHAND. DEU KONINKT,. AKADEMIE, DEEI. I. 



