DU PREMIER ORDRE AÜX UIFFÉRENTIELLES PARTIELLES. 19 



§ 12. Considérons Ie cas oü cliacun des trois coëfliciens P,Q,R, ren- 

 ferme les trois variables x,y,z a la fois. Il est aisé de prouver qu'en gé- 

 néral rintégration 



Pc\m + Qdj,M + Rö.-tt = O 



peut loujoius ètre ranienée a celle de Téquation a trois variables 



Pö.-' + Q.\5 = 11 (A) 



En ell'et, supposons Tintégrale de cctte équation mise sous la formc 



il en résultera la relation dilTérentielle 



div d(f dw 



^dx. + j^dy J^ -Idz = Q, 



a X ay az 



d'oü Ton tire pour les valeurs de ct^z et })yZ, 



d(f d(f 



^ dx , dy 



ö lp ' d(^i 



dz d z 



Ces valeurs étanl substituées dans róqualion (A) donneront l'équalion 



d if d O) d co 



P— ^ + Q-y^ + -R-1 = O, 

 dx dy dz 



ün (Ml conclul imniédiatement que la proposée sera satisfaite par l'équation 



u = (f (x,y,z) 



qui en exprimera ainsi l'intcgrale. On voit encore par cc qui précède, que 

 si rintégrale de l'équation (A) est presentée sous la forme 



T = <f (U). 



T et U indiquant des fonctions de x,y,z, l'équation 



PdxM + Q;)yM + Ri).« = O, 

 aura pour integrale 



« = -y (T , U) 



Les divers procédés indiqués dans notrc ménioirc cité pour parvenir a in- 



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