SUR LES QUARRES MAGIQUES. I49 



p, 5, ^ &c. aucune êtoit paire, et que 

 nous aurions alors a=;«, b=3 +1, 



C:=:y-|-2,d=5 -f 3 > 6=5 +4, f==^-f-5, 



&c. Ie nombre de ces termes étant tou- 

 jours=n. Suppofons pour un inflant, 

 que toutes ces lettres alternantes foy- 

 ent impaires. Soit Ia fomme de la fé- 

 rie des indices horizontaux ci + n + y -\- 

 $'+ £+ &c.=^ et celle des termes de la 

 directrice a + b + c + d-fe + &c.=rS, 

 et en ajoutant tous ces termes nous au- 

 rons cette équation : 



S=S+H-2 + .c!+4 + 5 + ....rn— i:=^+iii^n-0 



Or puisque Tune et l'autre de nos deux 

 féries doit comprendre tous les nom-r 

 bres différens depuis 1 jusqu'a n , il f'en 

 fuit que les deux fpmmes S et s doi- 

 vent être égales entre elles ; ou bien , 

 leur différence doit être un multiple du ,/ 

 nombre n, qui foit ^ n, d'oü Ton tire ^ 

 S=:S-|-\ n, et partant il faudra être dans 

 ce cas-ci i n (n — 1)=:^ n. Mais nous 

 avons deja dit plus haut, que les quar-. 

 rés a doublé marche ^xcluent entière- 

 ment l^s valeurs impaires de n; d'oüj 

 en fuppofant n pair=:2 k , k étant un,^ 

 nombre entier quelconque, nous au- 

 rons k (2 k— 1)=:2 x k ou bien ?.=k— § 

 ou k=:A — i ce qui est imposfibie. 



K 3 §. -jo. 



