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Con tantos objetos de igual forma como unidades contienen los nú- 
	
 meros de cada una de las clases comprendidas en el cuadro anterior, se 
	
 pueden formar los polígonos regulares de donde se derivan sus respecti- 
	
 vas denominaciones. Mas conviene saber de antemano cuántos objetos 
	
 habrá que colocar en fila para formar el lado ó raíz del polígono que se 
	
 trate de construir; y, como consecuencia también, algunas de las i)ro- 
	
 l)iedades que se desprenden de la estructura de los números poligonales. 
	

Supongamos, pues, que N sea un individuo cualquiera de la clase 
	
 de los trigonales, tendremos: 
	

a[a+ 1) 
	
 ■ív — — 7. — ; 
	

de donde, considerando el lado a como incógnita, se deduce la ecuación 
	


cuya solución entera y positiva es 
	

-1 + V/8 7V+1 
	
 a= 
	

Ahora bien, para que a sea entero, conforme exige la última igual- 
	
 dad, es necesario que 8iy+ i sea un cuadrado; y de aquí se despren- 
	
 de la propiedad notable de que el óctuplo de todo número trigonal^ su- 
	
 mado con la unidad^ produce un cuadrado. Por igual procedimiento se 
	
 descubre que los tetragonales son cuadrados; que lo son también los 
	
 producios por 24, más la unidad, de los. pentagonales ; que los cxagona- 
	
 les coinciden con los trigonales en la propiedad de que en éstos hici- 
	
 mos mérito; que los eptagonales satisfacen á la condición de ser tam- 
	
 bién un cuadrado la forma 40ÍV-I-9; los octagonales á la de serlo la 
	
 forma 3 7V^-+- i ; y, por último, que si N representa, como en los ca- 
	
 sos ya considerados, un individuo cualquiera de la clase A, sus pro- 
	
 piedades están compendiadas en la expresión general 
	

^ - 4 + y/ 8 (J - 2) iV -<- (^ - 4f 
	
 2 (^ - 2) 
	

