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5. — Congruencia con cero del producto de dos funciones. 
	

/.). 
	

Designando por p un número primo , el producto de dos funciones 
	
 de X , enteras y con coeficientes enteros^ f x) y F [x) , será congruente 
	
 con CERO, según el módulo p , sólo cuando lo sea uno de sus factores. 
	

En efecto, siendo las funciones dadas 
	

f {x) = a^^x" -ha.^x'' -ha.^x""' -h +«„_,« + «„ 
	

F{x) = b^^x" -hb^x"~ -t-i.2«"~'' + +^í,_i« + í„, 
	

para que ninguna de las dos sea = O (mod. p) es necesario y suficiente 
	
 que exista en cada una, por lo menos, un coeficiente que no sea divisi- 
	
 ble por ]). Designemos, pues, por ff„_,. el primer coeficiente no divi- 
	
 sible por p, contando desde el último, de la función f{x):, y por ¿„_^ 
	
 el primer coeficiente de la función F{x) que satisface también á las 
	
 condiciones del anterior: de manera que todos los coeficientes, con ín- 
	
 dices superiores á estos dos, son divisibles por p en ambas funciones. 
	

Esto supuesto, fácilmente se ve que el coeficiente de la potencia 
	
 x''~^ de la variable x, en el desarrollo del producto f[x)F{x), es 
	
 igual á 
	

esto es, igual á «,„_,. • ^«—j, más. una serie de términos que, según la 
	
 bipótesis, son todos múltiplos de p , de donde se deduce que tal coefi- 
	
 ciente será 
	

= «;,_,,- ^>„-, (mod. jO). 
	

Pero este producto, como el número p es primo, no es divisible por 
	
 j9, porque no lo es ninguno de sus factores; y, por consecuencia, tam- 
	
 poco serán divisibles por p todos los coeficientes de f{x)F{x)^ como 
	
 debieran serlo para que fuese f{x) F{x) = O (mod. p) : luego la suposi- 
	
 ción de que ninguno de los factores /(«}, F [x) sea =0(mod.jíj) es 
	
 inadmisible: resultando demostrado que la congruencia 
	

