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77. — Composición del primer miembro de una congruencia. 
	

El primer miembro de tina congruencia de grado n y de módulo 
	
 primo^i que contenga n raices incongrtientes, es igual al producto de n 
	
 factores binomios cuyo primer término cotmm es la incógnita y cuyos 
	
 segundos términos son dichas raices. 
	

En este enunciado se supone implícitamente que el coeiicienle de 
	
 la más elevada potencia de la incógnita es igual á la unidad: lo cual 
	
 puede siempre admitirse; puesto que, dada la congruencia general, 
	

f [x] = af^x + a^x' -+■ -(-ffjj_ja; + rt!,^j = O (mod. ^j) , 
	

en la cual no puede ser a^^ divisible por p , si hemos de considerarla 
	
 como del grado «, siempre podremos encontrar (68) un número x que 
	
 satisfaga á la congruencia «qíc = 1 (niod. j)) , multiplicar por él la ge- 
	
 neral propuesta, y reducirla así á la forma particular, ordinaria ., á que 
	
 se refiere el teorema. 
	

Hecha esta advertencia , para que se comprenda bien la exactitud 
	
 del mismo, tal como está expresado, vamos á demostrar ahora que, si la 
	
 congruencia de la forma general 
	

f{x) = 0[moA.p) (1) 
	

contiene las n raices diferentes a, p, y ) , será su primer miem- 
	
 bro 
	

/(» = af^{x — o){x—'^){x — '{) {x— a) +iJ '\ {x). 
	

En efecto, siendo a raiz de la congruencia (i), si dividimos por 
	
 [x — a) el polinomio /(.z;) , el resto r, de esta división será divisible 
	
 por p; pues, designando por /j (a;), el cociente de la misma, que será 
	
 un polinomio entero con coeficientes enteros, del grado {n — i), ten- 
	
 dremos la igualdad 
	

f{x) = (x - a)/, {x) -i- r, (2) 
	

de donde se deduce, como es j? = a(mod. p) , r, =/(a^ = O (mod. ;;;). 
	

