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 podría ser divisible por aquél sin que lo fuera separadamente ninguno 
	
 de sus factores, y entonces ocurrir el caso de que alguna de las con- 
	
 gruencias (2) contuviese más raices que unidades su grado. 
	

80. — Criterio de las soluciones enteras. 
	

De lo dicho se desprende que existen infinidad de congruencias de 
	
 grado n con n raices incongruentes; pero, dada una cualquiera de 
	
 ellas, no se podrá, en general, saber por ésto solo si admitirá, ó no, so- 
	
 luciones en números enteros. 
	

Existe, sin embargo, una congruencia notable, cuyas soluciones en- 
	
 teras se conocen siempre en valor y número, particular á primera vista, 
	
 mas en realidad general y fecunda para nuestro objeto, que es la con- 
	
 gruencia de Fermaú {6b). Refiriéndonos por de pronto al caso más ge- 
	
 neral (64), esto es, al teorema de Euler, 
	

x'^^''^ = l{moá.k), 
	

podemos decir, en efecto, que esta congruencia contiene exactamente 
	
 tantas raices como unidades su grado; puesto que, en primer lugar, sa- 
	
 bemos que la satisfacen todos los números primos con k , los cuales 
	
 pueden distribuirse en (p {k) clases ; y , en segundo , añadimos que sólo 
	
 estos números la satisfacen ; porque suponiendo que así no fuera , y que 
	
 o representase el máximo común divisor de una raíz cualquiera x de 
	
 la expresada congruencia, y de su módulo k, tenia también que ser o 
	
 divisor común de los números x'^ y k; y por consecuencia , de los 
	
 números í y k: lo cual es imposible no siendo S = 1 . 
	

Aplicando ahora esta doctrina al caso particular de Fermat, diremos 
	
 que la congruencia 
	

x' —1=0 (mod. p) 
	

contiene las (^j — 1 ) raices incongruentes, según p, 
	

1, 2, 3 ^-1, 
	

y no contiene ninguna otra, diferente de éstas. 
	

