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81. — Teorema da Wilsow. 
	

Este importante teorema , demostrado por Waring é impreso por 
	
 Wilson, se deduce inmediatamente de la equivalencia poco antes esta- 
	
 blecida , 
	

p—i 
	

X 
	

-1 =(íc-l)(a.'-2)(a;-3) (o; - (jí) - 1) ) = O (mod. i?). 
	

Comparando los términos independientes de x en su primer miem- 
	
 bro y en el producto desarrollado del segundo , como el número de fac- 
	
 tores negativos es par, tendremos, 
	

-1 = 1.2.3 ^^-l)(mod.;7); 
	

ó bien 
	

1.2.3 (j!?-l)4-l =0(mod.iJ). 
	

Este teorema en lenguaje vulgar se enuncia de este modo: 
	

Si p es im número primo ^ el producto de todos los números enteros^ 
	
 inferiores á p, alimentado en una íinidad, es tm múltiplo de dicho nú- 
	
 mero. 
	

No decimos en este teorema número primo impar , sin embargo de 
	
 que en tal supuesto lo hemos deducido , porque la congruencia de 
	
 Wilson se verifica también para el único número primo, par, 2, siendo 
	
 como lo son -)- 1 y — 1 congruentes entre si (mod. 2). 
	

Esta propiedad de los números primos, que demuestra el teorema de 
	
 Wilson, sirve también para conocer si un número dado cualquiera es ó 
	
 no primo. En efecto, si ^j es el número, siempre que se verifique la 
	
 congruencia 
	

1.2.3 (j)-i)-l-l=0(mod.j9\ 
	

será primo; pues, si no lo fuera, contendría algún divisor d , diferente 
	
 de la unidad y de sí mismo , que sería precisamente uno de los núme- 
	
 ros 2 , 3 , {p — 1) , y dividirla, según lo supuesto, á la suma 
	

1.2.3 [p- l) + l, 
	

