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nombre geiu'i icu de mices propias de la congruencia íc' = 1 ; y el es- 
	
 pecial de primitivas á las propias de la congruencia particular x'^'- = i 
	
 (mod. k), ó ])ien á los números pertenecientes al exponente tp7,-) res- 
	
 pecto del módulo k. Asi, un número a primo con k será raiz primi- 
	
 tiva de esta última congruencia , cuando ninguna de sus potencias de 
	
 grado inferior á o{k) sea = l(mod. k)\ y también podremos decir que 
	
 las raices íi"' de la unidad (mod. k) pertenecientes al exponente d 
	
 coinciden con las raices propias de la congruencia x''= 1 (mod. k). 
	

Apoyándonos en la misma congruencia de Euler es fácil determinar 
	
 previamente en qué casos, según la naturaleza del módulo /.•, es posi- 
	
 ble que existan raices primitivas para dicho módulo. 
	

Supongamos, y es el más general , que 
	

k=p r^ s ; 
	

en cuya forma representan p,r, s, números primos diferentes. En- 
	
 tonces (55) 
	

tp(fc)='fi;^'')o(rP)'f(5') =p'''~\p-\) . r^-'~\r ~ \) . s'~\s-V 
	

Si a es primo con /c, y, por lo tanto, primo con cada uno de los 
	
 factores de k, conforme con la congruencia de Euler, estableceremos 
	
 las siguientes: 
	

a'^''^''^''=l{mod.p^) 
	
 «■■'^'ee l(mod. r^) 
	
 a'^'-'''^=l(moi. s") 
	

Designando ahora por k el producto cp (/*;) de los exponentes de 
	
 estas congruencias, te(jo''), o{r^'), »(«'') , resultará (66) finalmen- 
	
 te esta otra: 
	

a' = \ (mod. k). 
	

Pero '-Byp'}. ?(í'^), ?(•?') son números pares, excepto en el 
	

