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 caso (56) de que respectivamente sean jo = 2, n = 1 ; r = 2, p = 1 ; etc. : 
	
 luego siempre que k contenga más de un factor primo impar, ó bien 
	
 un solo factor de esta clase y el factor 2 elevado á una potencia supe- 
	
 rior á la primera, dos por lo menos de los números »(/?"), '^{t^), 
	

'o{s'^) , tendrán un factor común, y, de consiguiente, su mínimo 
	

común nu'iltiplo (44) será menor que su producto h: es decir, que exis- 
	
 te entonces un exponente de a inferior á cp (k) que verifica la con- 
	
 gruencia de Euler: lo cual prueba que a no es raiz primitiva de /,-. 
	
 Examinemos ahora el caso en que el módulo 
	

¿■ = 2\ 
	

no contenga ningún factor primo impar. Todo número impar «, primo 
	
 con 2 naturalmente, podemos expresarlo bajo la forma 
	

la cual, elevada sucesivamente al cuadrado, produce las siguientes: 
	

a =1+2 «j 
	

2^ 4 
	

a = 1 + 2 íi.2 
	
 a = 1 +2 Wo 
	


Esta última igualdad, como cp (2 ) = 2 , puede escribirse así: 
	

a' = i (mod. 2^): 
	

congruencia que se verifica siempre que sea X>2; y ésto prueba que a 
	
 no es entonces raiz primitiva de 2 . 
	

Pero, si fuese ^"^2, esto es, X = 0, 1,2;2 , por consecuencia, 
	
 igual á 1 , 2, 4 y tp(2 ) = 1 , 1 , 2, la congruencia anterior nos con- 
	
 duciría á un absurdo, y en cambio se verificaría para los tres casos ex- 
	
 presados esta otra: 
	

