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a = l(moa. 2 ;: 
	

la cual maiiifiesla que a enlónces puede ser raíz primitiva del mó- 
	
 dulo 2 . Y, en efecto, todo número impar es raiz primitiva de los mó- 
	
 dulos 2 y 2 ; y el número 3 ó — 1 satisface también á la congruencia 
	

S*^'"-! (mod. 4) 
	

evidentemente, y es, por lo tanto, raiz primitiva de 2 . 
	

Ahora bien , de la congruencia a = a' {moa. k) se deduce a =a' 
	
 (mod. k) , y de aquí que dos números congruos pertenecen al mismo 
	
 exponente; y, por consecuencia, que los únicos números que debemos 
	
 elevar á las potencias sucesivas para hallar sus restos, y ver por ellos 
	
 los exponentos á que pertenecen, según un módulo cualquiera^, son los 
	
 que forman el sistema completo de números incongruentes para dicho 
	
 módulo. Uno de estos números incongruentes «, respecto de A', hemos 
	
 tomado como base de los anteriores razonamientos; y, puesto que lo 
	
 mismo que del número a puede decirse de todos los incongruentes 
	
 (mod. k), resulta, por fin, que sólo pueden existir raices primitivas: 
	

1.° Cuando el módulo k sea un número primo impar. 
	

2.° Cuando el módulo k sea una potencia superior á la primera de 
	
 im numero primo impar ó el duplo de tal 2^otencia. 
	

3.° Cuando el módulo k sea igual « 1, 2 o 4. 
	
 Estudiaremos en particular, y con la minuciosidad que la impor- 
	
 tancia de cada uno de ellos exija, los tres casos enumerados. 
	

84. — Be los números pertenecientes á un exponente dado respecto de un 
	

módulo primo impar. 
	

El teorema de Fermat, 
	

■a =1 (mod. p) , 
	

enseña, conforme á los principios generales explicados en el párrafo 
	
 anterior, que el exponente d á que pertenece el número a (no divisible 
	
 por j») respecto del módulo ^;, debe ser siempre un divisor de v>{p) = 
	
 p-\. 
	

Admitido que d sea efectivamente un divisor de p — 1 , ¿existirán 
	

