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85. — Da las raices primitivas de un módulo primo impar. 
	

Habiéndonos referido en la última demostración á uu divisor cual- 
	
 quiera de tp(jy), y no en particular á ninguno determinado, muy bien 
	
 podríamos aplicar las precedentes conclusiones á los números pertene- 
	
 cientes al mismo cp (p) =p — 1 , esto es, á las raices primitivas de p, 
	
 y sentar desde luego que : 
	

Existen siempre '-f {^ (p) ) = f {p — 1) raices primitivas g del nú- 
	
 mero p, cwj as potencias sucesivas 
	

1 , y, ¿' , /~ , {G) 
	

divididas por jo, producen el sistema completo de restos {mod. p). 
	

Y además que : 
	

Entre las potencias [G) pertenecerán d un divisor . d, de (/í— 1), 
	
 aquellas cuyos exponentes tengan común con [p — i ) el máximo divisor 
	
 o = {p-[): d. 
	

Pero , como indispensable para lo sucesivo , demostraremos estos 
	
 principios por otro método, también más directo, que se funda en el si- 
	
 guiente 
	

Teorema. Si establecemos la igualdad 
	

<i{p) =p — [ ~ a'^ b' c^ 
	

{siendo «, b, c números primos diferentes) , g A., B, C re- 
	
 presentan números que pertenecefi d los exponentes «", í"^, c^ res- 
	
 pectivamente., el jH'oducto ABC =P pertenecerá al producto 
	

a h^ c^ = tf (i»), 
	

ó será raiz primitiva del número ¡M'imo p. 
	

Para demostrarlo observaremos ante todo que el producto ABC 
	

es raiz de la congruencia 
	

<"/ = 1 (mod. p] ; 
	

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